2.7 Sebaran Kehidupan, Nilai Harapan Sisa Hidup dan Percepatan Kematian
Definisi 20. Sebaran Kehidupan lifetime
distribution Misalkan seseorang berumur x memiliki sisa
waktu hidup , maka umur orang tersebut
pada saat meninggal adalah T x
x T x +
. T merupakan peubah acak, dengan fungsi
sebaran G, dengan: ,
G t P T
t t
= ≤
≥ merupakan peluang seseorang yang berumur x
akan meninggal pada saat t tahun. Fungsi
G t
umumnya dinotasikan dengan sehingga
t x
q
t x
q G t
= .
Fungsi bertahan hidup s t
didefinisikan: 1
, s t
G t P T
t t
= − =
≥ adalah peluang seseorang yang berumur x
akan bertahan hidup sampai usia t tahun. fungsi
s t umumnya dinotasikan dengan
sehingga .
t x
p
t x
p s t
= Gerber 1997
Definisi 21. Nilai Harapan Sisa Hidup expected remaining lifetime
Misalkan seseorang berusia x memiliki sisa waktu hidup
T x . T
merupakan peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang
g t . Nilai harapan sisa hidup seseorang berumur x yang
dinotasikan dengan
x
e :
x
e E T x
t g t d
∞
= =
∫
t Gerber 1997
Definisi 22. Percepatan Kematian force of
mortality Percepatan kematian adalah banyaknya orang
yang meninggal setiap saat pada usia x. Percepatan kematian seseorang berusia x
dinotasikan dengan
x
η
: ln 1
1
x
g t d
G t G t
dt η =
= − −
⎡ ⎤
⎣ ⎦
− dengan
G t
adalah peluang seseorang akan meninggal pada saat t tahun dan
g t merupakan fungsi kepekatan peluang yang
berpadanan dengan
G t
.
Gerber 1997 2.8 Fungsi Kepuasan dan
Constant Relative Risk Aversion CRRA
Definisi 23. Fungsi Kepuasan utility
function
Misalkan
{ }
1 2
3
, ,
,...,
n
X x x x
x =
adalah himpunan konsumsi, maka fungsi kepuasan
konsumsi U
berada dalam himpunan konsumsi di mana
.
: U X
R →
Fishburn 1970 Definisi 24.
Constant Relative Risk Aversion CRRA
Misalkan adalah fungsi kepuasan U
dari kekayaan W, maka constant relative risk aversion CRRA didefinisikan dalam bentuk
persamaan: U W
1-
1 1
U W W
γ
γ
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
− ⎢
⎥ ⎣
⎦
, dengan
γ adalah koefisien Constant relative risk aversion
1
γ
≠
Anderson and Hardeker 2003
2.9 Aset Definisi 25. Aset
asset
Aset adalah sesuatu yang memiliki nilai ekonomi dan nilai pertukaran.
Harvey and Gretchen 2002 Definisi 26. Aset Bebas Risiko
risk-free asset
Aset bebas risiko adalah aset yang memiliki tingkat imbal hasil yang pasti di masa depan.
Harvey and Gretchen 2002 Definisi 27. Aset Berisiko
risky asset
Aset berisiko adalah aset yang tingkat imbal hasil di masa yang akan datang tidak pasti.
Harvey and Gretchen 2002
2.10 Anuitas Definisi 28. Anuitas
annuity
Anuitas adalah suatu rangkaian pembayaranpenerimaan secara berkala
dengan periode waktu yang sama. Rejda 2004
Definisi 29. Anuitas Hidup life annuity
Anuitas hidup adalah suatu rangkaian pembayaranpenerimaan setiap periode selama
tertanggung hidup.
Rejda 2004
Definisi 30. Anuitas Tetap fix annuity
2. Jika dan suatu konstanta dan
adalah peubah acak, maka:
1
k
2
k
1 2
, V V
[ ]
[ ] [ ]
1 1 2
2 1
1 2
2
E k V k V
k E V k E V
+ =
+ .
Secara umum, jika adalah
konstanta dan adalah
peubah acak, maka:
1 2
, ,...,
n
k k k
1 2
, ,...,
n
V V V
[ ]
1 1 2
2
...
n n
E k V k V
k V +
+ +
[ ] [ ]
[ ]
1 1
2 2
...
n n
k E V k E V
k E V =
+ + +
. Anuitas tetap adalah suatu rangkaian
pembayaranpenerimaan setiap periode dengan jumlah yang tetap.
Rejda 2004 Definisi 31. Anuitas Variabel
variable annuity
Anuitas variabel adalah rangkaian pembayaranpenerimaan setiap periode tidak
tetap naik atau turun bergantung pada harga saham di pasar bursa.
Hogg, McKean and Craig 2005 Bukti: lihat Hogg, McKean and Craig 2005.
Rejda 2004 Teorema 2. Fubini
Fubinis theorem Definisi 32. Anuitas Segera
immediate annuity
Misalkan
1
, , X A
μ dan
2
, B, Y
μ adalah dua ruang ukuran
σ berhingga. Jika atau
f ≥
1 2
,
X Y
f d
μ μ
×
∞
∫
maka: Anuitas segera adalah rangkaian
pembayaranpenerimaan secara berkala pada tiap akhir periode yang telah ditentukan.
Rejda 2004
2 1
,
X Y X Y
f x y dy
dx f d
μ μ
μ
×
=
∫∫ ∫
2.11 Volatilitas, Dividen, Bunga dan Diskon
1 2
,
Y X
f x y dx
dy
μ μ
=
∫∫
.
Definisi 33. Volatilitas volatility
Volatilitas σ menyatakan tingkat risiko suatu
aset yang ditunjukkan oleh keacakan harga saham.
Durret 1996 Bukti: lihat Durret 1996
.
Harvey and Gretchen 2002
Teorema 3. Formula Ito 1-Dimensi the
1-dimensional Ito formula Definisi 34. Dividen
dividend
Dividen adalah pembagian keuntungan kepada pemegang saham berdasarkan
banyaknya saham yang dimiliki. Misalkan
t
X
adalah proses Ito yang diketahui berbentuk:
= +
t t
dX u dt
v dB
, Harvey and Gretchen 2002
dan misalkan
[
2
, 0,
∈ ∞
g t x C
x R
g
terturunkan dua kali yang kontinu dalam
[
0, ∞ x R . Misalkan
, maka merupakan proses Ito, dan
,
t
Y g t X
=
Definisi 35. Bunga
interest
Bunga adalah imbal hasil yang dibayarkan oleh peminjam atas dana yang diterima.
t t
Y
Rejda 2004
2 2
2
, ,
1 ,
, 2
t t
t t
t
g g
dY t X
dt t X
dX t
x g
t X dX
x
t
∂ ∂
= +
∂ ∂
∂ +
∂
Definisi 36. Diskon discount
Diskon adalah metode pengurangan bunga pinjaman di awal transaksi.
Rejda 2004 dengan
dihitung mengikuti kaidah:
2
.
t t
dX dX
dX =
t
Definisi 37. Faktor Diskon discount factor
Faktor diskon pada waktu tahun ke-h dengan tingkat diskon sebesar
δ didefinisikan sebagai:
h h
v e
δ
−
=
.
0 , .
t t
t t
dt dt dt dB
dB dt dB dB
dt ⋅ = ⋅
= ⋅ =
⋅ =
Oksendal 2003
Gerber 1997
Bukti: lihat Oksendal 2003
.
2.12 Beberapa Teorema yang Digunakan Teorema 1. Beberapa sifat dari nilai
Kategori