I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Setiap orang mendambakan berhenti bekerja di suatu masa dalam siklus
kehidupannya dan menikmati masa tuanya dengan tentram. Terjaminnya kesejahteraan di
masa tua akan menciptakan ketenangan dalam bekerja. Untuk menjamin kesejahteraan di
masa tuanya itu, diperlukan suatu rencana pengalokasian aset-aset yang ada agar bisa
dimanfaatkan dan dinikmati di masa tua. Untuk mendapatkan semua itu, anuitas adalah
salah satu pilihan yang akan membantu menyusun suatu perencanaan jangka panjang
atas dana serta aset-aset nasabah.
Anuitas pada dasarnya sama dengan produk asuransi, yaitu memberikan
perlindungan terhadap kehilangan penghasilan, tetapi berbeda dari fungsi
utamanya. Asuransi jiwa memberikan perlindungan atas kemungkinan seseorang
kehilangan penghasilan karena meninggal terlalu cepat, sedangkan anuitas memberikan
perlindungan atas kemungkinan seseorang membutuhkan penghasilan karena hidup
terlalu lama. Anuitas dapat menjadi alternatif pilihan yang berguna untuk melindungi
kehilangan pendapatan selama menjalani masa tua.
Di Amerika Serikat kontrak anuitas variabel adalah suatu rencana pengumpulan
aset jangka panjang di mana seluruh keuntungan yang didapat tidak dikenai pajak
sebelum tahap pengumpulan aset berakhir. Di dalam kontrak anuitas variabel, retirement
adalah masa ketika tahap pengumpulan aset berakhir. Pada saat retirement, tahap
pengumpulan aset dalam kontrak anuitas variabel berakhir dan kemudian tahap
penerimaan pendapatan dimulai. Pada tahap penerimaan pendapatan, individu dapat
menentukan dua pilihan yaitu: i
Dapat melakukan penarikan seluruh aset yang ada di dalam rekening dengan
risiko pajak yang besar, atau ii
Seluruh dari aset yang ada di dalam rekening dapat diubah ke dalam bentuk
anuitas.
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah mengoptimalkan pilihan alokasi aset di dalam
rekening anuitas variabel. Alokasi aset di dalam rekening anuitas variabel terpisah
menjadi dua sub-rekening, yaitu sub-rekening aset bebas risiko dan sub-rekening aset
berisiko. Secara teoritis akan dibahas pengambilan keputusan dalam
mengalokasikan aset ke dalam rekening anuitas variabel agar diperoleh hasil yang
optimal pada saat retirement. 1.3 Sistematika Penulisan
Penulisan karya ilmiah ini terdiri atas pendahuluan pada Bab I yang meliputi latar
belakang, tujuan, serta sistematika penulisan. Pada Bab II berisi landasan teori yang
menunjang karya ilmiah ini. Bab III berisi model optimalisasi alokasi aset. Bab IV berisi
suatu contoh penerapan. Bab V berisi simpulan dan saran. Pada Bab VI berisi daftar
pustaka penunjang karya ilmiah ini.
II LANDASAN TEORI
2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1. Percobaan Acak
random trial
Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang
sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada
percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang semacam ini disebut
percobaan acak.
Hogg, McKean and Craig 2005
Definisi 2. Ruang Contoh sample space
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh,
dinotasikan dengan
Ω
. Grimmet and Stirzaker 2001
Definisi 3. Kejadian event
Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh
Ω
. Grimmet and Stirzaker 2001
Definisi 4. Medan- σ σ -field
Medan- σ adalah suatu himpunan
F
yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian
ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi
berikut : 1.
,
∅ ∈ F
2. Jika maka
1 2
, ,...
A A ∈ F
1 i
i
A
∞ =
∈
∪
F
, 3. Jika
A
maka .
∈ F
c
A ∈ F
Grimmet and Stirzaker 2001 Definisi 5. Ukuran Peluang
probability measure
Misalkan adalah medan-
F
σ dari ruang contoh
Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi pada
yang memenuhi:
: [0,
P →
F 1]
, Ω F
1. dan
P ∅ =
1. P
Ω =
2. Jika adalah himpunan yang
saling lepas yaitu untuk
setiap pasangan , maka
.
1 2
, ,...
A A ∈ F
i j
A A
∩ = ∅
i j
≠
1 1
i i
i i
P A
P A
∞ ∞
= =
⎛ ⎞
= ⎜
⎟ ⎝
⎠
∑ ∪
Grimmet and Stirzaker 2001 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Massa
Peluang
Definisi 6. Peubah Acak
random variable
Misalkan adalah medan-
F
σ dari ruang contoh
Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi
: X
R Ω →
dengan sifat untuk setiap
{
: X x
ω ω
∈ Ω ≤
∈ F
}
x R
∈
. Grimmet and Stirzaker 2001
Definisi 7. Peubah Acak Diskret
discrete random variable
Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terbilang
dari R.
Grimmet and Stirzaker 2001 Catatan:
Suatu himpunan bilangan C disebut terbilang, jika C terdiri atas bilangan terhingga atau
anggota C dapat dipadankan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
Definisi 8. Fungsi Massa Peluang
probability mass function
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi
[ ]
: 0,
p R → 1 yang
diberikan oleh:
X
p x
P X x
= =
. Grimmet and Stirzaker 2001
Definisi 9. Peubah Acak Kontinu continuous random variable
Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi
X
f x sehingga fungsi sebaran
P
X
F x
X x
= ≤
dapat dinyatakan sebagai:
x X
X
F x
f u
−∞
= ∫ du
,
x R
∈
, dengan
[ ]
: 0,
f R →
∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi
kepekatan peluang bagi X. Grimmett and Stirzaker 2001
Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini.
2.3 Fungsi Sebaran, Sebaran Eksponen dan