LAMPIRAN 3 Penurunan Persamaan 23 melalui Persamaan 24.
Dari Persamaan 24:
1
r t
t t
r t
t t
dc dc
dc c
c c
μ μ
α α
= + −
c.1 Pengintegralan Persamaan c.1:
1 1
r t
t t
r t
t t
r t
t t
r t
t t
dc dc
dc c
c c
dc dc
dc c
c c
μ μ
μ μ
α α
α α
= +
− =
+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
ln ln
1 ln
.
r t
t t
c c
c
μ
α α
= + −
c.2 Dengan menggunakan nilai
t
c
μ
dari Persamaan 22 dan nilai
r t
c dari Persamaan 12, maka
Persamaan c.2 menjadi:
2 2
1 2
1 2
ln ln
exp + 1
ln 2
ln exp
+ ln 2
ln exp
2 exp
2
t t
t t
t
c h W
h t
B r W
h W h
t B
r W
h W h
t B
r W
c h W
h
α α
α α
σ α
λ μ
σ α
λ σ
λ μ
σ λ
σ λ
μ σ
λ σ
λ μ
− −
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= +
− − +
− +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= +
− − +
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎜
⎟ ⎜
⎟ =
+ − −
+ +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛ =
+ − −
1
.
t
t B
r W
α α
σ λ
−
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎞ ⎜
⎟ +
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
c.3
Pemilihan AIR pada tingkat bebas risiko, sehingga h r
= . Persamaan c.3 menjadi:
2 1
2 2
exp 2
exp 2
exp .
2
t t
t t
c r W
r t
B r W
r W r
t B
r W r
t B
α α
α
σ λ
μ σ
λ σ
λ μ
σ σ
λ α μ
α σ
−
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= +
− − +
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎜
⎟ =
+ − −
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎜
⎟ =
+ − −
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
c.4
Dengan menggunakan nilai
x
r a
dari Persamaan 10 maka Persamaan c.4 menjadi:
2
exp 2
t t
x
W c
r t
B r
σ α μ
α σ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
= − −
+ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠ ⎝
⎠ a
LAMPIRAN 4 Penurunan Persamaan 27 menjadi Persamaan 28.
Dari Persamaan 27:
1 1
1 1
2 1
1 2
1
1 exp
1 2
exp 1
1 1
2 exp
1 1
t t
t
t
EU E
e e
r W
r t
B dt
r W
E t
t r
t B
dt r
W E
r
γ γ
γ γ
γ ρ
λ γ
γ
ασ α
λ α μ
α σ γ
λ ασ
λ ρ
γ α μ γ ασ
γ λ
λ ρ γ α μ
γ
− −
− −
∞ −
− −
− ∞
−
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎢ ⎥
⎜ ⎟
= +
− − +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎢
⎥ ⎣
⎦ ⎡
⎤ ⎛
⎞ ⎛
⎞ +
= − −
+ − − −
+ − ⎢
⎥ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ −
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎣ ⎦
+ =
− + − −
− −
∫
∫
2
1 2
t
t B
dt
ασ γ α σ
∞
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎢ ⎥
⎜ ⎟
− + −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢ ⎥
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎣ ⎦
∫
d.1
misalkan :
2
1 2
a r
ασ λ ρ
γ α μ
= + − − − −
1 c
γ ασ
= −
maka Persamaan d.1 menjadi:
1 1
1 1
e 1
e e
1
t t
at cB
cB at
r W
EU E
dt r
W E
dt
γ γ
γ γ
λ α
γ λ
γ
− −
− ∞
− + −
∞ −
+ ⎡
⎤ =
⎢ ⎥
− ⎣
⎦ +
⎡ ⎤
= ⎢
⎥ −
⎣ ⎦
∫ ∫
Penggunaan Teorema Fubini:
1
1
e e
. 1
t
cB at
r W
EU E
dt
γ
γ
λ α
γ
−
− ∞ −
+ =
−
∫
d.2 Diasumsikan gerak Brown 1-dimensi
{ }
, B t t
≥ adalah proses stokastik dengan
B =
. Untuk
s t
≤ ≤
, selisih
B t B s
−
menyebar
0, N
t s
−
dengan fungsi kepekatan peluang:
2
1 exp
2 2
X
x f
x t
s t
s
π
⎛ ⎞
= −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
− −
⎝ ⎠
dan fungsi pembangkit momen:
cX cx
X X
M c
E e e f
x dx =
=
∫
. Dari Lampiran 1 telah dibuktikan:
2
2
e
T
c T t cB
E e
−
=
, dengan substitusi:
T t
B B
= T
t t
s − = −
Persamaan d.2 menjadi:
2 1
1 2
1
c t s
t
r W
EU e
e dt
γ
γ
λ α
γ
−
− −
∞ −
⎛ ⎞
+ ⎜
⎟ =
⎜ ⎟
− ⎝
⎠
∫
a
. Karena
t s
≥ ≥
dan diasumsikan
s =
maka
t ≥
, sehingga:
2 1
1 2
1 2
1 2
1
1 1
c t t
t c
r W
EU e
e dt
r W
e dt
γ γ
γ γ
λ α
γ λ
γ
− −
− ∞ −
− ∞ − −
⎛ ⎞
+ ⎜
⎟ =
⎜ ⎟
− ⎝
⎠ +
= −
∫ ∫
a a
1
1 2
1 2
2 1
2
1 ;
1 r
W EU
c c
γ
γ
λ α
γ
−
−
⎛ ⎞
+ ⎜
⎟ =
− ⎜
⎟ −
− ⎝
⎠ a
a
d.4 karena :
2
1 2
a r
ασ λ ρ
γ α μ
= + − − − −
1 c
γ ασ
= −
maka Persamaan d.4 menjadi:
1
1 2
2
1 1
1 1
2 2
r W
EU r
γ
γ
λ α
ασ γ λ ρ
γ α μ γ ασ
−
−
+ =
⎛ ⎞
− + − −
− − −
− ⎜
⎟ ⎝
⎠
d.5 dengan:
2 2
2
1 1
1 1
2 2
2 c
r
ασ λ ρ
γ α μ γ ασ
⇔ + − − − −
− a
. d.6
Ketika nilai koefisien CRRA γ
→ ∞
, berarti individu menghindari risiko investasi seutuhnya. Pada kasus ini alokasi aset hanya pada aset bebas risiko sehingga nilai
α
=
dan Persamaan d.5 menjadi:
r W
EU
λ α
−∞ −∞
+ =
−∞ =
Ketika nilai koefisien CRRA γ
→
, berarti individu menyukai risiko investasi seutuhnya. Pada kasus ini alokasi aset hanya pada aset berisiko sehingga nilai
1
α
=
, dan Persamaan d.5 menjadi:
2 2
1 2
2 r W
EU r
r W r
λ α
σ λ ρ
μ σ
λ λ ρ μ
+ =
⎛ ⎞
+ − − −
− ⎜
⎟ ⎝
⎠ +
= + − +
dengan:
r
λ ρ μ
+ − + ≠
, sehingga Persamaan d.6 menjadi:
2 2
2 2
1 2
2 2
2 r
r r
r
σ λ ρ
μ σ
σ σ
λ ρ μ λ ρ μ
λ ρ μ
+ − − −
− + − + +
− + − +
+ +
d.7
LAMPIRAN 5
Penurunan Persamaan 28 menjadi Persamaan 29. Dari Persamaan 28:
