Tujuan Penulisan Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1. Percobaan Acak

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Setiap orang mendambakan berhenti bekerja di suatu masa dalam siklus kehidupannya dan menikmati masa tuanya dengan tentram. Terjaminnya kesejahteraan di masa tua akan menciptakan ketenangan dalam bekerja. Untuk menjamin kesejahteraan di masa tuanya itu, diperlukan suatu rencana pengalokasian aset-aset yang ada agar bisa dimanfaatkan dan dinikmati di masa tua. Untuk mendapatkan semua itu, anuitas adalah salah satu pilihan yang akan membantu menyusun suatu perencanaan jangka panjang atas dana serta aset-aset nasabah. Anuitas pada dasarnya sama dengan produk asuransi, yaitu memberikan perlindungan terhadap kehilangan penghasilan, tetapi berbeda dari fungsi utamanya. Asuransi jiwa memberikan perlindungan atas kemungkinan seseorang kehilangan penghasilan karena meninggal terlalu cepat, sedangkan anuitas memberikan perlindungan atas kemungkinan seseorang membutuhkan penghasilan karena hidup terlalu lama. Anuitas dapat menjadi alternatif pilihan yang berguna untuk melindungi kehilangan pendapatan selama menjalani masa tua. Di Amerika Serikat kontrak anuitas variabel adalah suatu rencana pengumpulan aset jangka panjang di mana seluruh keuntungan yang didapat tidak dikenai pajak sebelum tahap pengumpulan aset berakhir. Di dalam kontrak anuitas variabel, retirement adalah masa ketika tahap pengumpulan aset berakhir. Pada saat retirement, tahap pengumpulan aset dalam kontrak anuitas variabel berakhir dan kemudian tahap penerimaan pendapatan dimulai. Pada tahap penerimaan pendapatan, individu dapat menentukan dua pilihan yaitu: i Dapat melakukan penarikan seluruh aset yang ada di dalam rekening dengan risiko pajak yang besar, atau ii Seluruh dari aset yang ada di dalam rekening dapat diubah ke dalam bentuk anuitas.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah mengoptimalkan pilihan alokasi aset di dalam rekening anuitas variabel. Alokasi aset di dalam rekening anuitas variabel terpisah menjadi dua sub-rekening, yaitu sub-rekening aset bebas risiko dan sub-rekening aset berisiko. Secara teoritis akan dibahas pengambilan keputusan dalam mengalokasikan aset ke dalam rekening anuitas variabel agar diperoleh hasil yang optimal pada saat retirement. 1.3 Sistematika Penulisan Penulisan karya ilmiah ini terdiri atas pendahuluan pada Bab I yang meliputi latar belakang, tujuan, serta sistematika penulisan. Pada Bab II berisi landasan teori yang menunjang karya ilmiah ini. Bab III berisi model optimalisasi alokasi aset. Bab IV berisi suatu contoh penerapan. Bab V berisi simpulan dan saran. Pada Bab VI berisi daftar pustaka penunjang karya ilmiah ini. II LANDASAN TEORI

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1. Percobaan Acak

random trial Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak. Hogg, McKean and Craig 2005 Definisi 2. Ruang Contoh sample space Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω . Grimmet and Stirzaker 2001 Definisi 3. Kejadian event Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω . Grimmet and Stirzaker 2001 Definisi 4. Medan- σ σ -field Medan- σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut : 1. , ∅ ∈ F 2. Jika maka 1 2 , ,... A A ∈ F 1 i i A ∞ = ∈ ∪ F , 3. Jika A maka . ∈ F c A ∈ F Grimmet and Stirzaker 2001 Definisi 5. Ukuran Peluang probability measure Misalkan adalah medan- F σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi pada yang memenuhi: : [0, P → F 1] , Ω F 1. dan P ∅ = 1. P Ω = 2. Jika adalah himpunan yang saling lepas yaitu untuk setiap pasangan , maka . 1 2 , ,... A A ∈ F i j A A ∩ = ∅ i j ≠ 1 1 i i i i P A P A ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∪ Grimmet and Stirzaker 2001 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Massa Peluang Definisi 6. Peubah Acak random variable Misalkan adalah medan- F σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi : X R Ω → dengan sifat untuk setiap { : X x ω ω ∈ Ω ≤ ∈ F } x R ∈ . Grimmet and Stirzaker 2001 Definisi 7. Peubah Acak Diskret discrete random variable Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terbilang dari R. Grimmet and Stirzaker 2001 Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut terbilang, jika C terdiri atas bilangan terhingga atau anggota C dapat dipadankan 1-1 dengan bilangan bulat positif. Definisi 8. Fungsi Massa Peluang probability mass function Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi [ ] : 0, p R → 1 yang diberikan oleh: X p x P X x = = . Grimmet and Stirzaker 2001 Definisi 9. Peubah Acak Kontinu continuous random variable Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi X f x sehingga fungsi sebaran P X F x X x = ≤ dapat dinyatakan sebagai: x X X F x f u −∞ = ∫ du , x R ∈ , dengan [ ] : 0, f R → ∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang bagi X. Grimmett and Stirzaker 2001 Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini.

2.3 Fungsi Sebaran, Sebaran Eksponen dan