BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Repeated Measurement
Dalam repeated measurement setiap perlakuan menunjukkan pengukuran terhadap satu sampel unit eksperimen atau beberapa sampel yang memiliki karakter sama
dalam kondisi yang berbeda. Waktu merupakan salah satu faktor dalam struktur perlakuan eksperimen. Dengan repeated measurement data diperoleh sangat kompleks
dimana pengamatan terhadap respon yang diambil disetiap unit eksperimen yang sama pada beberapa kondisi terhadap waktu yang berbeda.
Dalam kasus ini, pengukuran terhadap sampel unit ekperimen yang sama atau beberapa sampel dengan karakteristik yang sama membuat perbedaan antar
sampel unit eksperimen dapat diminimalkan atupun dihilangkan, sehingga uji statistik yang dilakukan menjadi valid.
Rancangan repeated measurement dapat diaplikasikan untuk mempelajari lebih dari satu pengukuran pada variabel respon yang sama yang dilakukan pada
setiap subjek. Sehingga rancangan ini dapat digunakan ketika perlakuan ditetapkan secara acak untuk individu yang sama baiknya pada pengamatan dalam pengukuran
berulang yang dibuat satu atau lebih grup subjek.
2.2. Data Longitudinal
Keterangan atau ilustrasi mengenai sesuatu hal bisa berbentuk kategori, misalnya : rusak, baik, senang, puas, berhasil, gagal, dan sebagainya. Kesemuanya ini dinamakan
Universitas Sumatera Utara
data atau lengkapnya data statistik. Data yang baru dikumpulkan dan belum pernah mengalami pengolahan apapun dikenal dengan nama data mentah.
Data yang berbentuk bilangan disebut data kuantitatif. Harganya berubah-ubah atau bersifat variabel. Dari nilainya, dikenal dua golongan data kuantitatif ialah data
dengan variabel diskrit atau data diskrit dan data dengan variabel kontinu atau singkatnya data kontinu. Hasil menghitung atau membilang merupakan data diskrit
sedangkan hasil pengukuran merupakan data kontinu.
Data yang dikategorikan menurut lukisan kualitas objek yang dipelajari merupakan data kualitatif. Data longitudinal merupakan data yang berbentuk
pengukuran yang berulang repated measurement pada unit eksperimen yang sama dalam periode waktu tertentu. Adapun karakteristik data longitudinal adalah individu
subjek, unit sampel diamati dalam suatu periode waktu tertentu lebih dari satu kali atau pengukuran berulang pada suatu individu subjek, unit sampel.
Untuk tujuan eksploratori data longitudinal, sebaiknya tampilkan data mentah sebanyak mungkin bukan hanya meringkas, kemudian identifikasilah baik pada pola
cros-sectional maupun longitudinal dan identifikasi individu atau observasi yang tidak biasa outliers. Hal ini akan mempermudah dalam melihat dengan lebih jelas seperti
apa keberadaan data yang sedang dihadapi dan dapat menggunakan metode yang tepat dalam penganalisisannya. Sehingga hasilnya dapat diperoleh dengan tepat dan sesuai
dengan apa yang diharapkan.
Sangat baik menggunakan notasi tertentu untuk menggambarkan data dan pokok persoalan yang penting. Data-data yang telah dianalisis polanya kemudian dapat
diselesaikan secara matematis. Dengan pengukuran berulang, observasi data yang cukup rumit dalam beberapa observasi dari hasil yang diambil pada tiap unit
eksperimen bersama-sama sehingga hubungan yang rumit pada akhirnya memungkinkan untuk diringkas. Notasi-notasi yang sering digunakan dalam data
longitudinal adalah i untuk menyatakan individu i = 1,2,…N, observasi yang dilakukan pada individu i dilambangkan dengan k k = 1,2,…n, total observasi
i
, waktu observasi aktual adalah t
ik
. Variabel respon untuk variabel
Universitas Sumatera Utara
randomnya dinotasikan dengan Y
ik
, Y
i
= Y
i1
,...Y
in
, Y = Y
1
,…,Y
m
dan untuk respon observasi dinotasikan dengan y
ik
,y = y
i1
,…y
in
, y = y
1
,…,y
m
. variabel penjelas dinotasikan dengan x
ik
= x
ik1
,…,x
ikp t
, vektor berukuran p x 1 dan X
i
= x
i1
,…,x
in
, matriks berukuran n
i
x p. Anggap Y
ik
= hasil pengukuran observasi ke-k pada unit eksperimen individu ke-i.
Untuk meringkas waktu terjadinya dapat dinotasikan t
ik
sebagai suatu waktu dimana pengukuran ke-k unit eksperimen i telah terjadi. Jika pengukuran berulang
dilakukan pada unit eksperimen yang sama, maka untuk unit eksperimen i jika dilakukan 5 kali pengukuran dapat diperoleh respon observasi dari unit eksperimen
tersebut seperti yang dinotasikan dalam bentuk vektor berikut :
Hal penting yang dapat dilihat dalam hal ini adalah bahwa memungkinkan untuk menggambarkan hasil untuk subjek i secara keseluruhan sebagai vektor, dengan
demikian dapat dilihat seluruh hasil observasinya dengan tepat dan efisien. Dapat dilihat juga bahwa tiap subjek dapat memiliki vektor respon tersendiri. Hal ini penting
untuk dapat memikirkan bahwa data tidak hanya sebagai respon individu untuk satu subjek, tetapi dapat digabungkan respon subjek yang saling berhubungan dalam
seluruh vektor respon. Ini juga menunjukkan bahwa akan sangat baik menggunakan notasi matriks untuk meringkaskan data longitudinal.
2.3. Matriks
2.3.1. Pengertian dan Jenis-Jenis Matriks
Matriks dinotasikan dengan huruf kapital. Defenisi matriks itu sendiri adalah kumpulan elemen-elemen atau susunan bilangan real yang disusun menurut baris dan
Universitas Sumatera Utara
kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, dimana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris, dan dibatasi oleh tanda [ ],
.
Apabila suatu matriks A yang merupakan susunan bilangan real yang terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks A secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
atau disingkat dengan a
ij
, i = 1, 2,…, m dan j = 1, 2,…, n
Contoh : Suatu matriks A yang terdiri dari m baris = 2 dan n kolom =3, dimana :
a
11
= 4, a
12
= 2, a
13
= 5 a
21
= 3, a
22
= 1, a
23
= 3
Sehingga matriks A dapat ditulis sebagai berikut :
A
2x3
=
Beberapa jenis-jenis matriks adalah sebagai berikut :
1. Matriks bujur sangkar square matrix
Matriks bujur sangkar adalah suatu matriks dimana banyaknya m baris sama dengan banyaknya n kolom atau m = n, dan nilai dari m atau n menunjukkan ordo dari matriks
tersebut.
Universitas Sumatera Utara
Dapat ditulis
A =
2. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah
Suatu matriks A yang mempunyai elemen a
ij
= 0 untuk i j disebut matriks segitiga atas dan bila a
ij
= 0 untuk i j disebut matriks segitiga bawah, jadi :
Matriks Segitiga Atas Matriks Segitiga Bawah
3. Matriks diagonal, Skalar, dan Satuan
Matriks diagonal adalah suatu matriks dimana semua elemen-elemen di luar diagonal utama mempunyai nilai 0 dan paling sedikit satu elemen pada diagonal utama
0. Jadi jika matriks A = a
ij
dimana i = j =1, 2,…, n sehingga
D = d
ij
, i = j = 1, 2,…, n D
ij
= 0, untuk i .
Maka matriks A disebut matriks diagonal dan biasanya diberi symbol D, dimana n menunjukkan ordo dari matriks tersebut, sehingga secara umum matriks diagonal
dapat dituliskan sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
Matriks D merupakan suatu matriks diagonal, selain itu matriks identitas juga merupakan suatu matriks diagonal.
Bila pada matriks diagonal D terdapat a
ii
= k k adalah skalar untuk i = 1, 2, …, n, maka disebut matriks skalar dan jika k = 1 disebut matriks satuan yang
disingkat dengan I
n
atau I saja, jadi
Matriks Skalar Matriks Satuan
4. Matriks simetris
Matriks simetris adalah suatu matriks bujur sangkar dimana banyaknya m baris sama dengan banyaknya n kolom atau m = n menunjukkan ordo dari matriks tersebut.
Apabila matriks A = a
ij
, i = 1, 2,…, n dan dimana a
ij
= a
ji
untuk semua nilai i dan j, maka matriks A disebut matriks simetris symmetry matrix.
Contoh : Suatu matriks simetris dari matriks A berordo 3, dengan
a
ij
= a
ji
a
12
= a
21
= 2 a
13
= a
31
= 3 a
23
= a
32
= 4
Universitas Sumatera Utara
maka :
A
3x3
=
5. Transpose matriks
Transpose suatu matriks A
mxn
adalah suatu matriks yang mana elemen-elemen nya diperoleh dari elemen-elemen matriks A
mxn
dengan syarat bahwa baris-baris dan kolom-kolom matriks menjadi kolom-kolom dan baris-baris dari matriks yang baru,
dengan kata lain baris ke-i dari matriks A
mxn
menjadi kolom ke-i dari matriks baru. Biasanya transpose matriks A
mxn
dinotasikan dengan A
t
atau .
Misalkan : Suatu transpose matriks dari matriks A berordo 3,
A
3x3
= Sehingga
A
t
= =
Contoh : Suatu transpose matriks dari matriks A berordo 3,
A
3x3
= Sehingga
A
t
= =
Universitas Sumatera Utara
2.3.2. Operasi dan Sifat Matriks
a. Operasi penjumlahan dan Pengurangan matriks
Beberapa bentuk matriks dapat dijumlahkan dan dikurangkan, bila matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Pada operasi penjumlahan dan pengurangan suatu matriks,
operasi dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen pada entri yang bersesuaian.
1. Penjumlahan Matriks Dalam penjumlahan matriks elemen-elemen pada entri yang bersesuaian atau elemen
yang seletak dijumlahkan
Misalkan : A =
, B =
maka, A + B
2. Pengurangan Matriks
Begitu pula pada pengurangan matriks, operasi pengurangan dilakukan pada elemen- elemen yang seletak atau pada entri yang bersesuaian
Misalkan : A =
, B =
maka, A B
Universitas Sumatera Utara
b. Operasi Perkalian matriks
Apabila A
mxn
= a
ij
yaitu matriks dengan m baris dan n kolom, B
nxp
= b
ij
matriks dengan n baris dan p kolom, maka perkalian matriks AxB = C
mxp
, yaitu matriks dengan m baris dan n kolom, dimana elemen C pada baris ke-i dan kolom ke-j diperoleh
dengan rumusan :
C
ij
= a
i1
b
i1
+…+ a
in
b
nj
Atau
C
ij
= , dengan : i = 1, 2,…, m
j = 1, 2,…, p Misalkan :
A = , B =
A
2x3
xB
3x3
= C
2x3
C =
C
11
= elemen-elemen baris pertama A dikali elemen-elemen kolom pertama B kemudian dijumlahkan dan seterusnya.
C
11
= a
11
b
11
+ a
21
b
21
+ a
13
b
13
= C
12
= a
11
b
12
+ a
12
b
22
+ a
13
b
32
= C
13
= a
11
b
13
+ a
12
b
23
+ a
13
b
31
= C
21
= a
21
b
11
+ a
22
b
21
+ a
23
b
31
= C
22
= a
21
b
12
+ a
22
b
22
+ a
23
b
32
= C
23
= a
21
b
13
+ a
22
b
23
+ a
23
b
33
=
Sehingga : C =
Universitas Sumatera Utara
c. Sifat Matriks
1. Determinan Matriks
Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut determinan. Pengertian determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang
bertanda dari A dan dinyatakan dengan det A. Yang dimaksud dengan perkalian elementer yang bertanda dari matriks A adalah
sebuah hasil perkalian elementer pada suatu kolom dengan +1 atau -1. Untuk lebih jelasnya diuraikan sebagai berikut :
Jika matriks , maka det A = |A| =
2. Adjoin Matriks
Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut. Dilambangkan dengan Adj A = k
ij t
.
, maka Adj A =
3. Invers Matriks
Matriks-matriks persegi A dan B sedemikian hingga AB = BA = I, maka A disebut invers B ditulis B
-1
dan sebaliknya B adalah invers A ditulis A
-1
sehingga berlaku AA
-1
= A
-1
A = I, dimana I adalah matriks identitas.
Invers matriks A dirumuskan
Universitas Sumatera Utara
2.4. Rata-rata dan Varians
Kategori