15
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Umum
Balok tinggi adalah elemen struktur yang dibebani sama seperti balok biasa dimana besarnya beban yang signifikan dipikul pada sebuah tumpuan
dengan gaya tekan yang menggabungkan pembebanan dan reaksi. Sebagai hasilnya, distribusi tegaangannyatidak lagi linier dan deformasi geser menjadi
signifikan jika dibandingkan pada lenturan murni. Ada banyak cara dalam menganalisis sebuah balok tinggi, misalnya
metode finite difference, metode elastisitas dua dimensi, metode analisis tegangan. Metode elemen hingga finite element method dapat digunakan untuk
menganalisis tegangan yang timbul dan menghitung deformasi pada balok tinggi. Tegangan-tegangan yang dihasilkan dapat dipakai sebagai gambaran untuk
menempatkan tulangan pada perencanaan balok tinggi. Menurut Daryl L. Logan 2007, tegangan bidang didefensisikan sebagai
keadaan yang mana tegangan normal dan tegangan geser yang mengarah tegak lurus terhadap bidang diasumsikan sama dengan nol. Sementara regangan bidang
didefenisikan sebagai keadaan yang mana regangan normal pada bidang x-y, �
�
dan regangan geser , �
��
dan , �
��
diasumsikan sama dengan nol. Asumsi dari regangan bidang secara realistis pada bidang yang memanjang kearah x dengan
potingan melintang konstan dan diberi pembebanan yang bereaksi hanya pada arah x dan atau arah y dan tidak bervariasi pada arah z.
Gambar 1.1 tegangan bidang pada a pelat dengan lubang b pelat dengan irisan
Daryl L. Logan : 2007
Universitas Sumatera Utara
16
Gambar 1.2
regangan bidang pada a dam yang mengalami beban horizontal b pipa yang mengalami beban vertikal Daryl L. Logan : 2007
Konsep dari kondisi tegangan dan regangan dua dimensi dan hubungan antara teganganregangan untuk tegangan bidang dan regangan bidang perlu
diketahui pada penyusunan dan aplikasi dari matriks kekakuan untuk tegangan regangan bidang dengan elemen segitiga.
Pertama sekali dilustrasikan keadaan tegangan dua dimensi berdasarkan gambar berikut :
Gambar 1.3 keadaan tegangan dua dimensi Daryl L. Logan : 2007
Elemen sangat kecil dengan sisi dx dan dy yang telah mengalami tegangan normal
�
�
dan �
�
masing-masing berperan pada arah sumbu x dan y disini pada permukaan vertikal dan horizontal. Sedangkan gaya geser
�
��
berperan pada tepi sumbu y permukaan vertikal dalam arah y dan gaya geser
�
��
berperan pada tepi sumbu x permukaan vertikal dalam arah y. Momen keseimbangan dari
elemen menghasilkan �
��
yang sama besarnya dengan �
��
. Oleh karena itu tiga tegangan-tegangan yang secara bebas ada dan diwakili oleh vektor matriks kolom.
Universitas Sumatera Utara
17
{ �} = �
�
�
�
�
�
��
�
Tegangan yang diberikan dari persamaan diatas akan dinyatakan dalam derajat kebebasan perpindahan pada suatu titik. Oleh karena itu setelah
perpindahan nodal ditentukan maka tegangan- tegangan dapat langsung dievaluasi.
Berdasarkan konsep tegangan, tegangan-tegangan utama dimana tegangan minimum dan maksimum pada bidang dua dimensi dapat diperoleh dari
persamaan berikut :
�
1
= �
�
+ �
�
2 +
�� �
�
− �
�
2 �
2
+ �
�� 2
= �
���
�
1
= �
�
+ �
�
2 − ��
�
�
− �
�
2 �
2
+ �
�� 2
= �
���
Juga sudut utama �
�
yang mendefinisikan keadaan normal yang arahnya tegak lurus terhadap bidang dimana tegangan maksimum atau minimum berperan
dapat dicari melalui persamaan : ���2�
�
= 2
�
��
�
�
− �
�
Metode elemen hingga dapat dipandang sebagai perluasan metode perpindahan yang dikenal pada konstruksi rangka ke masalah kontinum
berdimensi duadan tiga, seperti plat, stuktur selaput shell dan lain-lain.Dalam metode ini, kontinum sebenarnya diganti dengan sebuah struktur ideal ekivalen
yang terdiri dari elemen – elemen diskrit. Pada dasarnya struktur dengan system diskrit ini sama dengan system
generalized, yaitu bilajumlah elemen-elemen yang membangun struktur tersebut mendekati tak berhingga. Pemecahan sistem iniberupa persamaan aljabar yang
dinyatakan dalam bentuk matiks, sedangkan untuk sistem generalized pemecahan berupa persamaan diferensial.
Universitas Sumatera Utara
18
Ada dua tipe elemen yang paling umum digunakan yaitu elemen berbentuk segi empat dan berbentuk segitiga, Dalam tulisan ini akan dibahan mengenai
pemakaian elemen segitiga.
Gambar 1.4 model elemen segitiga
Masing – masing titik pada elemen mempunyai 2 derajat kebebasan two degree of freedom . maka untuk elemen segitiga total derajat kebebasannya
menjadi 6 u1, v1, u2, v2, u3, v3 . Serta gaya- gaya yang sesuai adalah Fx2, Fy1, Fx2, Fy2, Fx3, Fy3
Berdasarkan JR William Weaver dan Paul R Johnston. 1993, Matriks Kekakuan elemen segitiga Constant Strain Triangle dapat dinyatakan sebagai :
[ �] = � � [�]
�
[ �][�]
Dimana : [k] = matriks kekakuan struktur,
t = tebal elemen, �= luasan elemen,
[B] = matriks gabungan, [D] = matriks elastisitas.
Universitas Sumatera Utara
19
Dalam tulisan ini yang akan dihitung adalah tegangan bidang dan asusmsi yang digunakan adalah :
�
�
= �
��
= �
��
= 0 Hubungan antara tegangan dan regangan adalah :
�
�
= �
1 − �
2
��
�
+ ��
�
�
�
�
= �
1 − �
2
��
�
+ ��
�
�
�
��
= �
21 − �
= �
��
= ��
��
Dimana : E = merupakan modulus elastisitas bahan
v = angka poisson. G = modulus geser
Matriks elastisitas [D] didapat dari kondisi tegangan dan regangan dua dimensi, didapat matriks :
{ �} = [�]{�}
[ �] =
� 1
− �
2
� 1
� � 1
1 − �
2 �
Matriks gabungan [B] didapat dari hubungan antara regangan perpindahan dan tegangan regangan. Regangan yang berhubungan dengan
perpindahan dengan elemen dua dimensi dinyatakan dalam matriks dibawah ini :
Universitas Sumatera Utara
20
{ �} =
1 2
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ⎩
⎪ ⎨
⎪ ⎧
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
⎭ ⎪
⎬ ⎪
⎫
Atau :
{ �} = [�
�
�
�
�
�
] �
�
�
�
�
�
�
�
Dimana :
[ �
�
] =
1 2
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
� =
1 2
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� [�
�
] =
1 2
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
Kemudian matriks diatas disederhanakan menjadi : {
�} = [�]{�} [
�] = ��
�
�
�
�
�
� Sehingga hubungan dari matriks kekakuan elemen segitiga dapat dijabarkan
menjadi : [
�] = � � [�]
�
[ �][�]
[ �] = ��
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎡
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
⎦ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎤
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
1 − �
2
� � 1
� � 1
1 − �
2 �
Dimana: [k] = sebuah fungsi variasi dari koordinat titik x dan y, dan dapat
disimbolkan dengan
� dan �. E = merupakan modulus elastisitas bahan .
v = angka poisson.
Universitas Sumatera Utara
21
Setelah kita mendapatkan matriks kekakuan [k], maka nilai kekakuan setiap elemen dapat digabungkan kedalam matriks kekakuan global.
{ �} = [�]{�}
Dimana: {
�} = matriks gaya {
�} = matriks perpindahan Dengan didapatkannya nilai perpidahan, maka kita bisa mencari nilai
tegangan, melalui persamaan matriks : {
�} = [�][�]{�} Secara umum, penjabaran persamaan diatas menjadi
� �
�
�
�
�
��
� = �
1 − �
2
� 1
� � 1
1 − �
2 � � �
1 2
�� � �
1
�
3
�
2
�
1
�
3
�
2
�
1
�
1
�
3
�
3
�
2
�
2
� ⎩
⎪ ⎪
⎨ ⎪
⎪ ⎧
�
1 �
�
1 �
�
3 �
�
3 �
�
2 �
�
2 �
⎭ ⎪
⎪ ⎬
⎪ ⎪
⎫
Universitas Sumatera Utara
22
1.2 Latar Belakang Masalah