Kesesuaian persamaan antara Reganganperpindahan Hubungan antara tegangan dan regangan

34 sebelah kanan.Elemen ini diasumsikan memiliki ketebalan satuan. Penjumlahan gaya pada arah x didapatkan : ∑ � � = 0 = �� � + �� � �� � ��1 − � � ��1 + � � ����1 + �� �� + �� �� �� ��� �� 1 − �� �� ��1 = 0 Gambar 2.5 elemen diferensial bidang yang mengacu pada tegangan Daryl L. Logan : 2007

2.3.1 Kesesuaian persamaan antara Reganganperpindahan

Pertama sekali didapatkan hubungan regangan-perpindahan atau diferensiasi kinematis untuk kasus dua dimensi. Elemen diferensial yang akan ditunjukkan dalam gambar 2.3 dimana keadaan tidak terdeformasi diwakili oleh garis putus-putus dan bentuk terdeformasi setelah peregangan mengambil kedudukannya diwakili oleh garis nyata. Gambar 2.6 elemen diferensial sebelum dan setelah deformasi Daryl L. Logan : 2007 …… Pers. 2.1 Universitas Sumatera Utara 35 Dengan mempertimbangkan elemen garis AB pada arah x, dapat dilihat bahwa kedudukannya berubah menjadi A’B’ setelah terdeformasi, dimana u dan v mewakili perpindahan pada arah x dan y. dengan defenisi rekayasa regangan normal yaitu perubahan panjang dibagi panjang awal dari sebuah batang � = ∆� � � � = � ′ � ′ −�� �� Dimisalkan AB = dx Dan � ′ � ′ 2 = �� + �� �� �� 2 + �� �� �� 2 Kemudian, dalam mengevaluasi nilai A’B’ menggunakan teorema binomial dan mengabaikan persamaan dengan derajat yang lebih tinggi � �� �� � 2 dan � �� �� � 2 pendekatan yang konsisten dengan asumsi nilai regangan yang kecil , maka didapat : � ′ � ′ = �� + �� �� �� Dengan menggunakan persamaan 2.2 dan persamaan 2.4 kedalam persamaan 2.1, didapat : � � = �� + �� �� �� − �� �� � � = �� �� Dengan cara yang sama dengan menganggap elemen garis pada AD pada arah y, didapat : � � = �� �� …… Pers. 2.1 …… Pers. 2.2 …… Pers. 2.3 …… Pers. 2.4 …… Pers. 2.5 …… Pers. 2.6 Universitas Sumatera Utara 36 Regangan geser ϒ xy didefenisikansebagai perubahan sudut diantara keuda garis, dalam hal ini adalah garis AB dan AD yang semula membentuk sudut tegak lurus. Oleh sebab itu dari gambar 2.3, dapat dilihat bahwa ϒ xy adalah jumlah dua sudut dan dinyatakan sebagai berikut : ϒ �� = �� �� + �� �� Maka persamaan 2.5 – 2.7 mewakili hubungan regangan –perpindahan untuk perilaku dalam bidang.

2.3.2 Hubungan antara tegangan dan regangan

Pembentukan persamaan hubungan antara tegangan dan regangan diambil dari pengembangan pada sebuah bidang isotropis. Dianggap bidang tersebut mengalami pembebanan tekan. Secara terkhusus kita dapat menamakan setiap pembebanan yang terjadi kedalam 3 koefisien arah x.y. dan z yaitu, σ x , σ y , dan σ z . Diasumsikan dasar dari superposisi yang berperan; yaitu, mengasumsikan resultan regangan pada sebuah sistem pada saat beberapa gaya pada jumlah aljabar dari efek sendiri. Berdasarkan gambar 2.4 b, tegangan pada sumbu x menghasilkan regangan positif : �’ � = � � � Dimana berdasarkan hukum Hooke, � = ��, digunakan dalam menuliskan persamaan 2.7, dan E dinyatakan sebagai modulus elastisitas. …… Pers. 2.6 …… Pers. 2.7 Universitas Sumatera Utara 37 Gambar 2.7 Elemen yang mengalami tegangan normal yang bertindak dalam tiga arah yang saling tegak lurus Daryl L. Logan : 2007 Dengan berdasaran pada gambar 2.4 c, tegangan positif pada arah ymenghaslkan regangan negative pada arah x, sebagai hasil dari efek Poisson adalah : �’′ � = − �� � � Dimana v merupakan rasio Poisson. Dengan cara yang sama berdasarkan gambar 2.4 d, tegangan pada arah z mengahasilkan regangan negative pada arah x melalui persamaan : �’′′ � = − �� � � Dengan menggunakan superposisi dari persamaan 2.6-2.8, didapatkan : � � = � � � − � � � � − � � � � Regangan pada arah y dan z dapat ditentukan dengan metode yang sama yang digunaan untuk mendapatkan persamaan 2.10 untuk arah x. Didapatkan : …… Pers. 2.8 …… Pers. 2.9 …… Pers. 2.10 Universitas Sumatera Utara 38 � � = −� � � � + � � � − � � � � � � = −� � � � − � � � � + � � � Dengan menggunakan persamaan 2.10-2.12 untuk tegangan-tegangan normal, didapat : � � = � 1+ �1−2� �� � 1 − � + �� � + �� � � � � = � 1 + �1 − 2� ��� � + 1 − �� � + �� � � � � = � 1 + �1 − 2� ��� � + �� � + 1 − �� � � Hukum Hooke, � = �� , digunakan untuk tegangan normal tetapi juga dapat diaplikasikan untuk tegangan dan regangan geser yaittu: � = �� Dimana G adalah modulus geser, oleh karena itu, penjelasan untuk penempatan tiga regangan geser yang berbeda penempatan adalah: � �� = � �� � � �� = � �� � � �� = � �� � Melalui persamaan diatas, maka didapat nilai tegangan geser: � �� = �� �� � �� = �� �� � �� = �� �� Jika disusun kedalam bentuk matriks , maka persamaan 2.13 dan 2.16 menjadi : …… Pers. 2.11 …… Pers. 2.12 …… Pers. 2.13 …… Pers. 2.14 …… Pers. 2.15 …… Pers. 2.16 Universitas Sumatera Utara 39 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ � � � � � � � �� � �� � �� ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ = � 1+ �1−2� � ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 − � � 1 − � � 0 � 0 1 − � 1 − 2� 2 ��������� 1 − 2� 2 1 − 2� 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ � � � � � � � �� � �� � �� ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ Dengan catatan nilai modulus geser adalah : � = � 21 + � Ini digunakan dalam persamaan 2.17 , matriks persegi empat pada sebelah kanan persamaan 2.17 dinamakan matriks teganganregangan atau pembentuk dan dinotsikan sebagai D, [ �] = � 1+ �1−2� � ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 − � � 1 − � � 0 � 0 1 − � 1 −2� 2 ��������� 1 −2� 2 1 −2� 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ dimana D adalah : Maka untuk analisa tegangan dua dimensi, komponen tegangan normal dan tegangan geser bekerja dalam dua arah saja, tidak pada sumbu z, sehingga : � � = � �� = � �� = 0 Maka hubungan tegangan dan regangan menjadi : � � = � 1 − � 2 [ � � + �� � ] …… Pers. 2.17 …… Pers. 2.18 …… Pers. 2.19 …… Pers. 2.20 Universitas Sumatera Utara 40 � � = � 1 − � 2 �� � + �� � � � �� = � 21 − � 2 � �� = �� �� Dengan memisahkan � 1 −� 2 dan persamaan diatas disusun dalam matriks, sehingga : � � � � � � �� � = � 1 −� 2 � 1 � � 1 1 −� 2 � � � � � � � �� � { �} = [�] ∗ {�} [ �] = � 1 −� 2 � 1 � � 1 1 −� 2 �

2.4 Sejarah Metode Elemen Hingga Perkembangan FEM diawali atas jerih payah Alexander Hrennikoff