PenjabaranHubungan antara Regangan-Perpindahan dan Tengangan-Regangan

48 Kemudian, dengan menggunakan rumus 3.18, dapat dituliskan kembali persamaan 3.16 dan 3.17 menjadi : ��, � = �� � � � + � � � � + � � � � � ��, � = �� � � � + � � � � + � � � � � Jika persamaan diatas diubah dalam bentuk matriks, didapat : { �} = �� �, � ��, �� = � � � � � + � � � � + � � � � � � � � + � � � � + � � � � � Dengan memisahkan perkalian kedalam 5 susunan matriks antara N dengan perpindahan u,v: { �} = � � � � � � � � � � � � � � ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ � � � � � � � � � � � � ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ Secara ringkas maka bentuk diatas menjadi : { �} = [�]{�} Dimana [N] merupakan fungsi bentuk yaitu N i ,N j , N m yang mewakili bentuk dari fungsi digambarkan di seluruh permukaan daru sebuah elemen.

3.1.3 PenjabaranHubungan antara Regangan-Perpindahan dan Tengangan-Regangan

3.1.3.1 Hubungan Regangan-Perpindahan

Regangan yang berhubungan dengan elemen dua dimensi dapat dirumuskan menjadi : { �} = � � � � � � �� � = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ �� �� �� �� �� �� + �� �� ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ …… Pers. 3.19 …… Pers. 3.20 …… Pers. 3.21 …… Pers. 3.23 …… Pers. 3.22 Universitas Sumatera Utara 49 Dengan menggunakan persamaan 3.19, untuk perpindahan, maka dapat dirumuskan: �� �� = � , � = � �� � � � � + � � � � + � � � � Dengan mengintegralkan fungsi u didapat : � , � = � �,� � � + � � ,� � � + � �,� � � Dimana tanda koma diikuti oleh sebuah variabel yang menunjukkan penurunan dengan berdasarkan pada variabel tersebut. Digunakan u i,x = 0 karena u i = ux i ,y i adalah nilai konstan yang bersamaan dengan nilai u j,x = 0 dan u m,x = 0. Dengan menggunakan persamaan 3.18, dapat dievaluasi penjabaran dari turunan fungsi bentuk shape function dalam persamaan 3.55 sebaagai berikut: � �,� = 1 2 � � �� � � + � � � + � � � = � � 2 � Begitupun nilai � � ,� = � � 2 � dan � �,� = � � 2 � Kemudian dengan menggunakan persamaan 3.56 dan 3.57 dalam persamaan 3.55, didapat : �� �� = 1 2 � � � � � + � � � � + � � � � �� �� = 1 2 � � � � � + � � � � + � � � � �� �� + �� �� = 1 2 � � � � � + � � � � + � � � � � � � � + � � � � + � � � � Persamaan 3.58 dan 3.59 digunakan kedalam persamaan 3.53 didapat : { �} = 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ � � � � � � � � � � � � ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ Atau dapat disederhanankan menjadi : …… Pers. 3.24 …… Pers. 3.25 …… Pers. 3.26 …… Pers. 3.27 …… Pers. 3.28 …… Pers. 3.29 …… Pers. 3.30 Universitas Sumatera Utara 50 { �} = �� � � � � � � � � � � � � � � Dimana : �� � � = 1 2 � � � � � � � � � � � �� � � = 1 2 � � � � � � � � � � � �� � � = 1 2 � � � � � � � � � � � Maka dalam bentuk matriks yang lebih sederhanan, persamaan 3.51 dapat dituliskan menjadi : { �} = [�]{�} Dimana : � = [� � � � � � ] Matriks Badalah koordinat bebas dari x dan y, serta hanya bergantung pada koordinat titik elemen seperti yang terlihat dalam persamaan 3.35 dan 3.10 . Regangan seperti dalam persamaan 3.33 akan konstan; oleh sebab itu, elemen ini disebut constant-strain triangle CST.

3.1.3.2 Hubungan Tegangan – Regangan

Pada umumnya, dalam hubungan teganganregangan dinyatakan sebagai berikut : � � � � � � �� � = [�] � � � � � � �� � Dimana [D] berasal dari analisis tiga dimensi untuk hubungan tegangan- regangan yang dapat disederhanakan pada kondisi regangan geser ϒ xz = ϒ yz = 0, tetapi nilai regangan pada arah sumbu z, ε z ≠ 0. Maka didapat matriks elastisitas untuk kondisi bidang yang mengalami tegangan. Dengan memasukkan nilai persamaan 3.33 kedalam persamaan 3.35, didapat tegangan bidang dengan titik derajat kebebasan yang belum diketahui : { �} = [�][�]{�} Dimana tegangan { �}juga bernilai konstan pada setiap elemen. …… Pers. 3.31 …… Pers. 3.32 …… Pers. 3.33 …… Pers. 3.34 …… Pers. 3.35 …… Pers. 3.36 Universitas Sumatera Utara 51 3.1.4 Menurunkan Matriks Kekakuan Elemen dan Persamaannya Dengan menggunakan prinsip minimal energi potensial, dapat dihasilkan persamaan untuk elemen segitiga rengangan konstan biasa. Dengan mengingat bahwa untuk tegangan bidang dasar, total energi potensial adalah sebuah fungsi dari perpindahan tiik u i ,v i ,u j , …., v m , fungsi perpindahan, {d}, dengan demikian diambil hubungan : π p = π p u i , v i , u j , ……, v m Disini, total energi potensial dapat diberikan menjadi : π p =U + Ω b + Ω s Dimana energi regangan didapat dari persamaan � = 1 5 � � �{�} � � { �}�� Dari persamaan 3.35 , { �} = [�]{�} � = 1 5 ∫ ∫ ∫{�} � � [ �]{�} �� Karena bentuk dalam matriks [ �]adalah simetris maka jika ditranspos [ �] � nilainya sama, maka energi potensial dari gaya bidang itu sendiri dinyatakan sebagai : � � = − � � �{�} � � { �} �� Dimana { �}adalah fungsi perpindahan keseluruhan, dan {�}adalah matriks berat bidangatau satuan volume atau kerapatan massa biasanya dalam satuan pound inch 5 atau kNm 5 . Energi potensial dari beban merata atau daya tarik permukaan bergerak melalui perpindahan masing-masing permukaan, didefenisikan menjadi : � � = −{�} � { �} Dimana matriks { �} mewakili perpindahan titik pada biassanya, dan {�} mewakili beban luar tepusat. Energi potensial dari beban terbagi rata yang bergerak melalui perpindahan permukaan masing-masing dinyatakan dalam : …… Pers. 3.37 …… Pers. 3.38 …… Pers. 3.39 …… Pers. 3.40 …… Pers. 3.41 …… Pers. 3.42 Universitas Sumatera Utara 52 � � = − ∫ ∫ {� � } � � { � � } �� Dimana { � � } adalah daya tarik permukaan biasanya dalam satuan pound inch 5 atau kNm 5 .{ � � }adalah medan dari perpindahan permukaan pada saat dimana daya tarik permukaan bekerja, dan S adalah permukaan disepanjang mana daya tarik { � � }bekerja. Dari persamaan 3.51 , yaitu : { �} = [�]{�} dan dari persamaan 3.33 : { �} = [�]{�} , untuk regangan yang terjadi dalam persamaan 3.40 – 3.43, didapat : � � = 1 2 � � �{�} � � [ �] � [ �][�]{�}�� − � � �{�} � � [ �] � { �}�� − {�}{�} − ∬ {�} � [ � � ] � { � � } �� � Perpindahan titik {d} secara bebas dapat terjadi dari titik koordinat x-y secara keseluruhan, jadi {d} dapat dikeluarkan dari integral dalam persamaan 3.44, maka: � � = 1 2 { �} � � � �[�] � � [ �][�]��{�} − {�} � � � �[�] � � { �}�� − {�} � { �} − {�} � � [� � ] � { � � } �� � Dari persamaan 3.41 – 3.43 dapat dilihat bahwa dari tiga kondisi di persamaan 3.45 mewakili total gaya yang bekerja pada sistem dalam sebuah elemen {f} : { �} = � � �[�] � � { �}�� + {�} + � � �[� � ] � � { � � } �� Dimana pada kondisi pertama, kedua, dan ketiga di sebelah kanan persamaan 3.46 masing-masing mewakili gaya bidang, gaya titi terpusat, dan daya tarik permukaan. Dengan menggunakan persamaan 3.46 kedalam persamaan 3.45, didapat : � � = 1 2 { �} � ∫ ∫ ∫[�] � � [ �][�]��{�} − {�} � { �} …… Pers. 3.43 …… Pers. 3.44 …… Pers. 3.45 …… Pers. 3.46 …… Pers. 3.47 Universitas Sumatera Utara 53 Dengan mengambil variasi pertama, atau dengan penyetaraan, digunakan diferensiasi parsial terhadap π p = π p d , �� � �{�} = �∫ ∫ ∫[�] � � [ �][�]��� {�} − {�} = 0 ∫ ∫ ∫[�] � � [ �][�]��{�} − {�} = 0 Dimana turunan parsial berkaitan dengan matriks {d} yang sebelumnya untuk memperkecil π p , diambil variasi dari π p yang pada fungsi perpindahan titik d i secara umum dapat dinyatakan : �� � = �� � �� 1 �� 1 + �� � �� 2 �� 2 + ⋯ + �� � �� � �� � Untuk nilai-nilai dalam persamaan �� � �{�} tidak akan nol. Oleh karena itu untuk dapat menyamakan nilai �� � = 0, setiap koefisien yang berkaitan dengan �� � harus bernilai nol.Maka : �� � �� � = 0 � = 1,2,3, … , � ���� �� � �{�} = 0 Berdasarkan kondisi kesetimbangan statis dari struktur maka persaman 3.49 dpat disamakan kedalam kekakuan suatu struktur : [ �] = ∫ ∫ ∫[�] � [ �][�]�� � Untuk elemen dengan ketebalan kostan, t, persamaan 3.53 menjadi : [ �] = ∫ ∫ ∫[�] � [ �][�]���� � Dimana integral bukan merupakan fungsi dari x atau y untuk elemen regangan segitiga konstan dan kemudian dapat dikeluarkan dari integral dan menghasilkan : [ �] = ��[�] � [ �][�] Dimana A berdasarkan persamaan 3.9 merupakan luasan segitiga, 5 � = � � �� � − � � � + � � � � − � � + � � �� � − � � � � = 1 5 �� � �� � − � � � + � � � � − � � + � � �� � − � � �� …… Pers. 3.48 …… Pers. 3.49 …… Pers. 3.50 …… Pers. 3.51 …… Pers. 3.52 …… Pers. 3.53 …… Pers. 3.54 …… Pers. 3.55 Universitas Sumatera Utara 54 [B] berdasarkan persamaan 3.34, dan [D]dari persamaan 5.55. Diasumsikan elemen dari ketebalan konstan asusmsi ini konvergen dengan situasi aktual bersamaan dengan menurunnya ukuran elemen . Dari persamaan 3.55 dapat dilihat bahwa [k] adalah fungsi dari korrdinat titik dan dari keterangan mekanis E dan v yang mana [D] adalah sebuah fungsi . Bentuk perluasan dari persamaan 3.55 dapat ditulis : [ �] = � � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � Dimana submatriks 5x5 adalah : [ � �� ] = [ � � ] � [ �][� � ] �� �� �� � = [� � ] � [ �]�� � ��� [ � �� ] = [ � � ] � [ �][� � ] �� Dan juga muncul dalam persamaan 3.57 [B i ],[ B j ], dan [B m ] dijabarkan dalam persamaan 3.35. matriks [k] akan menjadi matriks 6x6 sama dengan jumlah derajat kebebasan per titik, dua, dikali jumlah total titik per elemen, tiga.

3.1.5 Mengumpulkan Persamaan Elemen Untuk Mendapat Persamaan Global danMembuat Kondisi Batas