43
BAB III METODE ANALISA DAN APLIKASI
3.1. Metode Perhitungan Tegangan dengan Matriks CST Constant Strain
Triangular Element
Dalam mengilustrasikan tahapan dan perkenalan dari persamaan dasar yang sering digunakan pada elemen pelat segitiga plane triangular element .
Gambar 3.1 a Pelat yang mengalami tegangan 3.1 b Diskretisasi pelat menggunakan
elemen segitiga Daryl L. Logan : 2007
3.1.1 Memilih Tipe Elemen
Untuk menganalisa pelat yang diilustrasikan dalam gambar diatas, dimisalkan elemen dasar segitiga dengan setiap titik dinamakan titik i,j dan m.
dengan menggunakan elemen segitika, setiap batas-batas dalam bidang dengan bentuk tidak teratur dapat diperkirakan dengan teliti, dan persamaan yang
berkaitan dengan elemen segitiga lebih mudah jika dibandingkan dengan metode lain.
Selanjutnya akan dibahas rumusan yang berdasarkan titik-titik yang ditentukan dengan penomoran diikuti dengan sistem berlawanan arah, walaupun
perumusan yang berdasarkan penomoran yang mengikuti sistem searah jarum jam juga dapat digunakan. Prosedur penomoran yang konsisten untuk semua bidang
yang dianalisa sangat penting untuk mencegah masalah dalam perhitungan seperti jika didapati elemen suatu bidang yang bernilai negatif.
Universitas Sumatera Utara
44
Gambar 3.2 elemen dasar segitiga yang memperlihatkan derajat kebebasan
Dari gambar kita dapatkan koordinat nodal dari titik i,j dan m, yaitu x
i
, y
i
, x
j
, y
j
,dan, x
m
, y
m
. Perpindahan nodal dapat dirumuskan sebagai berikut:
{ �} = �
�
�
�
�
�
�
� = ⎩
⎪ ⎨
⎪ ⎧
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
⎭ ⎪
⎬ ⎪
⎫
3.1.2 Memilih Fungsi Perpindahan
Fungsi perpindahan linear untuk setiap elemen dapat dituliskan : ��, � = �
1
+ �
2
� + �
3
� ��, � = �
4
+ �
5
� + �
6
�
Dimana ux,y dan vx,y menggambarkan perpindahan yang terjadi dalam suatu titik dalam x
i
, y
i
dari elemen. Fungsi linear memastikan bahwa keserasian hasilnya dapat terpenuhi. Fungsi linear dengan titik akhir yang spesifik hanya
mempunyai satu garis yang akan dilalui, yaitu melalui 2 titik. Oleh karena itu, fungsi linear memastikan bahwa perpindahan sepanjang sisi dan pada titik yang
dibagi dengan elemen-elemen yang berdekatan seperti sisi i dan j dari dua elemen yang ditunjukkan dalam gambar 3.2 b adalah sama. Dengan menggunakan
persamaan sebelumnya, fungsi perpindahan keseluruhan yang meliputi fungsi u dan v, dapat dituliskan sebagai berikut :
…… Pers. 3.1
…… Pers. 3.2
Universitas Sumatera Utara
45
{ �} = �
�
1
+ �
2
� + �
3
� �
4
+ �
5
� + �
6
�� =
�1 � � 1
� �� ⎩
⎪ ⎨
⎪ ⎧
�
1
�
2
�
3
�
4
�
5
�
6
⎭ ⎪
⎬ ⎪
⎫
Untuk mendapatkan nilai-nilai koefisien a dalam persamaan 3.2 dengan mensubtitusikan titik koordinat nodal kedalam persamaan perpindahan :
�
�
= ��
�
, �
�
= �
1
+ �
2
�
�
+ �
3
�
�
�
�
= ���
�
, �
�
� = �
1
+ �
2
�
�
+ �
3
�
�
�
�
= ��
�
, �
�
= �
1
+ �
2
�
�
+ �
3
�
�
�
�
= ��
�
, �
�
= �
4
+ �
5
�
�
+ �
6
�
�
�
�
= ���
�
, �
�
� = �
4
+ �
5
�
�
+ �
6
�
�
�
�
= ��
�
, �
�
= �
4
+ �
5
�
�
+ �
6
�
�
Kemudian persamaan diatas kita susun dalam bentuk matriks:
� �
�
�
�
�
�
� = � 1
�
�
�
�
1 �
�
�
�
1 �
�
�
�
� � �
1
�
2
�
3
�
Maka penyelesaian nilai a dengan aturan matriks adalah : {
�} = [�]
−1
{ �}
Dimana x merupakan matriks 3 x 3, dan untuk mencari invers dari matiks x diselesaikan dengan metode kofaktor :
[ �]
−1
=
1 2
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
dimana 2
� = � 1
�
�
�
�
1 �
�
�
�
1 �
�
�
�
�
…… Pers. 3.3
…… Pers. 3.4
…… Pers. 3.5
…… Pers. 3.6
…… Pers. 3.7
…… Pers. 3.8
Universitas Sumatera Utara
46
matriks diatas merupakan determinan dari [x] dimana dari hasil perkalian kofaktor :
2 � = �
�
�
�
− �
�
+ �
�
�
�
− �
�
+ �
�
��
�
− �
�
� Disini, nilai A adalah luas dari segitiga dan koefisien pada persamaan 3.7
adalah : �
�
= �
�
�
�
− �
�
�
�
�
�
= �
�
�
�
− �
�
�
�
�
�
= �
�
�
�
− �
�
�
�
�
�
= �
�
−�
�
�
�
= �
�
− �
�
�
�
= �
�
− �
�
�
�
= �
�
− �
�
�
�
= �
�
− �
�
�
�
= �
�
− �
�
Maka penyelesaian matiks a dapat dituliskan kembali :
� �
1
�
2
�
3
� =
1 2
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
Untuk 3 koordinat selanjutnya, dengan cara yang sama dalam persamaan 3.4 didapat :
� �
4
�
5
�
6
� =
1 2
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
Selanjutnya akan diturunkan fungsi perpindahan keseluruhan di x yaitu ux,y dengan syarat variable pada koordinat x dan y, diketahui adalah
α
i
, α
j
,…. Ƴ
m
dan perpindahan titiku
i
,u
j
, dan u
m
. Dimulai dengan persamaan 3.5 , titik tersebut dibuat kedalam matriks :
{ �} = [1 � �] �
�
1
�
2
�
3
�
Subtitusi pers. 3.11 kedalam 3.13, kita mendapat :
…… Pers. 3.9
…… Pers. 3.10
…… Pers. 3.11
…… Pers. 3.12
…… Pers. 3.13
Universitas Sumatera Utara
47
{ �} =
1 2
�
[1 � �] �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
Persamaan 3.14 dapat diperluas menjadi :
{ �} =
1 2
�
[1 � �] �
�
�
�
�
+ �
�
�
�
+ �
�
�
�
�
�
�
�
+ �
�
�
�
+ �
�
�
�
�
�
�
�
+ �
�
�
�
+ �
�
�
�
�
Jika kedua matriks dalam pers. 3.15 dikalikan dan disusun sedemikian, akan didapat bentuk berikut:
��, � =
1 2
�
��
�
+ �
�
� + �
�
��
�
+ �
�
+ �
�
� + �
�
��
�
+ �
�
+ �
�
� + �
�
��
�
}
Dengan cara yang sama kita mengganti nilai u
i
menjadi v
i
, u
j
menjadi v
j
, u
m
menjadi v
m
kedalam persamaan 3.16, didapat perpindahan pada arah y : ��, � =
1 2
�
��
�
+ �
�
� + �
�
��
�
+ �
�
+ �
�
� + �
�
��
�
+ �
�
+ �
�
� + �
�
��
�
}
Dalam bentuk yang lebih sederhana dari persamaan 3.16 dan 3.17 untuk nilai u dan v dapat dirumuskan :
�
�
= 1
2 �
�
�
+ �
�
� + �
�
� �
�
= 1
2 �
�
�
+ �
�
� + �
�
� �
�
= 1
2 �
�
�
+ �
�
� + �
�
�
…… Pers. 3.14
…… Pers. 3.15
…… Pers. 3.16
…… Pers. 3.17
…… Pers. 3.18
Universitas Sumatera Utara
48
Kemudian, dengan menggunakan rumus 3.18, dapat dituliskan kembali persamaan 3.16 dan 3.17 menjadi :
��, � = ��
�
�
�
+ �
�
�
�
+ �
�
�
�
� ��, � = ��
�
�
�
+ �
�
�
�
+ �
�
�
�
� Jika persamaan diatas diubah dalam bentuk matriks, didapat :
{ �} = ��
�, � ��, ��
= �
�
�
�
�
+ �
�
�
�
+ �
�
�
�
�
�
�
�
+ �
�
�
�
+ �
�
�
�
�
Dengan memisahkan perkalian kedalam 5 susunan matriks antara N dengan perpindahan u,v:
{ �} = �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ⎩
⎪ ⎨
⎪ ⎧
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
⎭ ⎪
⎬ ⎪
⎫
Secara ringkas maka bentuk diatas menjadi : {
�} = [�]{�} Dimana [N] merupakan fungsi bentuk yaitu N
i
,N
j
, N
m
yang mewakili bentuk dari fungsi
digambarkan di seluruh permukaan daru sebuah elemen.
3.1.3 PenjabaranHubungan antara Regangan-Perpindahan dan Tengangan-Regangan