13
Banyak cara untuk menyelesaikan masalah dalam PL yaitu cara manual yaitu menggunakan perhitungan biasa sampai menggunakan bantuan komputer
untuk penyelesaian masalah yang cukup rumit. Apabila banyaknya variabel peubah hanya dua buah, maka kita dapat menyelesaikan masalah PL dengan
metode grafik, tetapi dengan keterbatasan metode ini, maka untuk masalah dengan banyaknya variabel yang lebih dari dua, metode ini kurang cocok Dwijanto,
2008:13.
2.2.1 Solusi PL dengan Metode Grafik
Menyelesaikan masalah PL dengan metode grafik berarti menggambar pembatas sebagai grafik dalam ruang berdimensi dua, jika model matematikanya
memuat dua variabel dan dalam ruang tiga jika model matematikanya memuat tiga variabel. Contoh masalah yang dapat diselesaikan dengan program linear
menggunakan metode grafik adalah sebagai berikut. Sebuah perusahaan mebel memproduksi dua jenis alat rumah tangga
yaitu rak buku dan meja. Setiap hasil produksi harus melalui dua tahap yaitu pemotongan dan perampungan. Untuk pemotongan tiap rak buku memerlukan
waktu 4 jam dan untuk meja juga sama. Untuk proses perampungan memerlukan 3 jam untuk rak buku dan 2 jam untuk meja. Rak buku jika dijual memberi laba
Rp 8000,0buah dan meja Rp 6000,-buah. Waktu yang tersedia untuk pemotongan pada setiap periode waktu 100 jam dan untuk perampungan tersedia
60 jam. Perusahaan ingin menentukan jumlah produksi untuk masing-masing jenis barang agar diperoleh laba maksimal.
Penyelesaian:
14
Untuk menyederhanakan masalah ini, kita buat tabel berkenaan dengan masalah pada contoh ini.
Tabel 1. Kebutuhan dan waktu yang tersedia
Barang Lama Proses
Banyaknya Pemotongan jam Perampungan jam
Rak buku 4
3 X1
Meja 4 2
X2 Waktu yg
tersedia 100 60
Dari Tabel 1 di atas, kemudian dibuat model matemátikanya sebagai berikut.
Fungsi tujuan : Maksimumkan Z = 8000x1 + 6000x2
Fungsi Pembatas: 4 x1 + 4 x2
≤ 100 3 x1 + 2 x2
≤ 60 x1
≥ 0, x2 ≥0 Untuk membuat grafik, pertama-pertama buatlah sistem sumbu koordinat dengan
sumbu x1 mendatar dan sumbu x2 tegak, kemudian buatlah garis dengan persamaan 4 x1 + 4 x2 = 100.
Titik potong dengan sumbu X1 yaitu dengan memberikan 0 pada nilai X2, sehingga diperoleh: 4 x1 + 4 x2 = 100
15
4 x1 + 4 0 = 100 4 x1 = 100
x1 =
25 diperoleh titik 25,0
Titik potong dengan sumbu X2 yaitu dengan memberikan 0 pada nilai X1, sehingga diperoleh: 4 x1 + 4 x2 = 100
4 0 + 4 x2 = 100 4 x2 = 100
X2 = 25 diperoleh titik 0,25. Hubungkan kedua titik itu.
25,0
0,25
Gambar 1
Untuk memenuhi pertidaksamaan 4x1 + 4x2 ≤ 100, maka ambilah
sebarang ttik bukan pada garis tersebut, misalnya titik 0,0. Titik 0,0 ini memenuhi persyaratan, maka belahan garis 4 x1 + 4 x2 = 100 yang memuat 0,0
tidak diarsir, sedangkan daerah yang tidak memenuhi 4 x1 + 4 x2 ≤ 100 diarsir.
Hasilnya terlihat pada Gambar 2.
16
0,25
Gambar 2.
25,0
Selanjutnya dengan cara yang sama, digambar dari fungsi pembatas 3x1 + 2x2
≤ 60, sehingga diperoleh grafik seperti pada Gambar 3 berikut.
0,30 0,25
10,15
20,0 25,0
Gambar 3 Dari Gambar 3 di atas diketahui nilai maksimum akan terjadi di titik 0,0,
10,15, 20,0, atau 0,25. Fungsi tujuan pada persoalan ini adalah memaksimumkan Z = 8000X1 + 6000X2, sehingga nilai Z dari titik-titik ujung itu
adalah:
17
Tabel 2. Nilai fungsi tujuan pada solusi fisibel titik ekstrim Titik Nilai
Z 0,0 0
20,0 160000 10,15 170000
0,25 150000
Dari Tabel 2. Terlihat bahwa nilai Z maksimum terjadi pada titik 10,15 dengan nilai Z = 170000.
Ini berarti supaya diperoleh laba maksimum, maka harus dibuat 10 buah rak buku dan 15 buah meja.
2.2.2 Solusi PL dengan Metode Simpleks
