17
Tabel 2. Nilai fungsi tujuan pada solusi fisibel titik ekstrim Titik Nilai
Z 0,0 0
20,0 160000 10,15 170000
0,25 150000
Dari Tabel 2. Terlihat bahwa nilai Z maksimum terjadi pada titik 10,15 dengan nilai Z = 170000.
Ini berarti supaya diperoleh laba maksimum, maka harus dibuat 10 buah rak buku dan 15 buah meja.
2.2.2 Solusi PL dengan Metode Simpleks
Metode simpleks merupakan teknik yang dikembangkan untuk memecahkan masalah PL yang mempunyai jumlah variabel keputusan dan
pembatas yang besar. Contoh penyelesaian masalah dengan Metode Simpleks adalah sebagai berikut.
Maksimumkan Z = 20 X1 + 30 X2 + 40 X3 Harus memenuhi:
4 X1 + 5 X2 + 6 X3 ≤ 24000
2 X1 + 3 X2 + 4 X3 ≤ 15000
2 X1 + 5 X2 + 5 X3 ≤ 18000
X1, X2, X3 ≥ 0
Penyelesian:
18
Untuk menyelesaikan masalah di atas dengan metode simpleks kita ubah persamaan di atas menjadi sistem persamaan dengan menambahkan variabel
tiruan, sebut saja variabel s1, s2 dan s3, sehingga terbentuk sistem persamaan berikut.
Maksimumkan Z = 20 X1 + 30 X2 + 40 X3 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 Harus memenuhi:
4 X1 + 5 X2 + 6 X3 + s1 ≤ 24000
2 X1 + 3 X2 + 4 X3 + s2 ≤ 15000
2 X1 + 5 X2 + 5 X3 + s3 ≤ 18000
X1, X2, X3, s1, s2, s3 ≥ 0
Langkah awal kita tidak membuat apa-apa, sehingga variabel yang masuk terlebih dahulu adalah s1, s2, dan s3. Dari sistem persamaan ini kita buat tabel berikut
Tabel 3. Iterasi 0 awal Iterasi 0
20 30
40 Rasio
CB VDB Q X1 X2
X3 S1 S2 S3 S1
S2 S3
Zj Zj-
Cj
Keterangan:
19
CB : koefisien variabel basis yang masuk pada fungsi tujuan
VDB : variabel basis yang masuk Q
: banyaknya barang Zj
: nilai fungsi tujuan yaitu jumlah dari hasil kali variabel ke j dan CB
Cj : koefisien variabel pada fungsi tujuan bilangan yang terletak di
atas variabel Selanjutnya kita isi tabel sesuai dengan sistem persamaan di atas sehingga kita
peroleh tabel berikut. Tabel 4. Iterasi 0
Iterasi 0 20
30 40
Rasio CB VDB Q
X1 X2 X3 S1 S2 S3
0 S1 24000 4 5 6 1 0 0 0 S2 15000 2 3 4 0 1 0
0 S3 18000 2 5 5 0 0 1 Zj
Zj- Cj
Kita hitung nilai Zj dan Zj-Cj sebagai berikut. Tabel 5. Nilai Zj dan Zj-Cj
Variabel Zj Zj-Cj
Q 240000+150000+180000=0
20
X1 40+20+20=0 0-20=
-20 X2 50+30+50=0
0-30= -30
X3 20+50+50=0 0-400=
-40 S1 10+00+00=0
0-0=0 S2 00+10+00=0
0-0=0 S3 00+00+10=0
0-0=0
Selanjutnya kita peroleh tabel berikut. Tabel 6. Iterasi 0 akhir
Iterasi 0 20
30 40
Rasio CB
VDB Q X1 X2 X3
S1 S2
S3 0 S1 24000 4
5 6 1 0 0
0 S2 15000 2 3
4 0 1 0 0 S3 18000 2
5 5 0 0 1
Zj Zj-
Cj -20
-30 -40
Kita tentukan kolom kunci nilai yang nilai Zj-Cj paling kecil yaitu kolom pada variabel X3. Lalu kita hitung rasionya. Rasio untuk baris pada variabel:
S1 = 240006 = 4000 S2 = 150004 = 3750
S3 = 180005 = 3600
21
Jadi baris kuncinya adalah baris yang memuat variabel s3 rasio paling kecil yaitu 3600, sehingga tabel menjadi.
Tabel 7. Baris dan Kolom Kunci Iterasi 0 Iterasi 0
20 30
40 Rasio
CB VDB Q X1 X2 X3 S1 S2 S3
0 S1 24000 4 5 6 1 0 0 4000
0 S2 15000 2 3 4 0 1 0 3750
S3 18000
2 5
5 1
3600 Zj
0 0 0 0 Zj-
Cj -20
-30 -40 0 0 0
Dari perhitungan di atas selanjutnya X3 menggantikan s3, CB kita isi koefisien X3 yaitu sebesar 40 dan pada baris ini bilangan kunci kita ubah menjadi 1 yaitu
dengan membagi 3. Dengan demikian maka baris ini kita bagi dengan 3 sehingga diperoleh tabel berikut.
Tabel 8. Iterasi 1 Awal Iterasi 1
20 30
40 Rasio
CB VDB Q X1 X2 X3 S1 S2 S3
S1 S2
40 X3
10 1
23 23
13 B
B B
22
Zj Zj-
Cj
Lakukan operasi baris elementer, sehingga bilangan pada kolom kunci menjadi 0. Untuk lebih mudahnya kita gunakan B1 baris 1 adalah baris pertama yang berada
pada matriks utama, B2 baris 2 adalah baris ke-2 pada matriks utama dan seterusnya, sehingga Bn adalah baris ke-n pada matriks utama. Selanjutnya Bn
adalah baris ke-n baru dalam suatu iterasi. Pada baris ke-1, dengan rumusan B1-B3 dan pada baris ke-2 dengan rumusan
B2-2B3, kemudian kita hitung nilai Zj dan Zj-Cj, sehingga kita peroleh tabel berikut.
Tabel 9. Iterasi 1 Iterasi 1
20 30
40 Rasio
CB VDB Q X1 X2 X3 S1 S2 S3
0 S1 2400 85 -1
1 - 65
0 S2 600 25 -1
1 - 45
40 X3 3600 25 1
1 15
Zj 144000
16 40 40 0 0 8 Zj-
Cj -4 10 0 0 0 8
23
Kolom kunci adalah kolom yang memuat X1, kemudian kita hitung rasio dan menentukan bilangan kunci. Sehingga kita peroleh tabel.
Tabel 10. Baris dan Kolom Kunci Iterasi 1 Iterasi 1
20 30
40 Rasio
CB VDB Q X1 X2 X3 S1 S2 S3
S1 2400
85 -1
1 - 65
1500 0 S2 600 25
-1 1
- 45 1500
40 X3 3600 25 1
1 15
9000 Zj
144000 16 40 40 0 0 8
Zj- Cj
-4 10 0 0 0 8
Variabel yang masuk selanjutnya adalah X1, dengan demikian s1 diganti dengan X1, CB pada baris ke-1 kita isi 20 dan bilangan-bilangan pada baris ini kita bagi
dengan 85, sehingga kita peroleh tabel berikut. Tabel 11. Iterasi 2 Awal
Iterasi 2 20
30 40
Rasio CB VDB Q X1 X2 X3 S1
S2 S3 20
X1 1500
1 -58
58 -68
s2 40
X3 3000
Zj Zj-Cj
24
Dengan melakukan OBE pada baris pertama dan ke-3, menghitung Zj dan Zj-Cj seperti perhitungan di atas, maka kita peroleh.
Tabel 12. Iterasi 2 Iterasi 2
20 30
40 Rasio
CB VDB Q X1 X2
X3 S1 S2
S3 20 x1
1500 1 -58 0 58 0 -68 0 S2 0 0 -34 0 -14 1
-12 40
X3 3000
54 1
14 12
Zj 150000
20 3008
40 452
5 Zj-
Cj 152
452 5
Dari tabel di atas terlihat bahwa baris evaluasi Zj-Cj sudah tidak ada yang negatif, maka program sudah optimal. Dengan demikian dari tabel ini dapat
disimpulkan bahwa X1 = 1500, X2 = 0, dan X3 = 3000, dengan Z = 150000.
2.3 Metode Trend Musiman