82
adalah dengan menuju tak hingga. Oleh karena itu, diperoleh nilai P
g
sebagai berikut.
n i
i i
i in
n g
x t
x S
t x
t x
n t
P
1
, ,
. ,
lim
3.77
Menurut definisi dari integral tentu integral Riemann yang menyatakan bahwa misalkan P
g
merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b], sedemikian sehingga nilai P
g
ada, dan P
g
terintegral pada selang [a,b], sehingga Persamaan 3.77 menjadi
b a
in g
dx t
x S
t x
t x
n t
P ,
, .
,
3.78
Perubahan usaha internal fluida terhadap waktu sama dengan jumlah dari daya tekanan aliran fluida dan daya gesek fluida. Arah daya-daya tersebut searah
dengan aliran fluida, sehingga perubahan usaha internal fluida terhadap waktu dapat diformulasikan sebagai berikut.
b a
in b
a in
Sdx n
dx x
Sv p
dt dA
. 3.79
4. Persamaan Kesetimbangan Energi Mekanis Fluida
Hukum Perubahan Energi Mekanis adalah perubahan energi kinetik pada sistem terhadap waktu sama dengan jumlah perubahan usaha eksternal dan usaha
internal yang bekerja pada setiap partikel dari sistem terhadap waktu. Hukum Perubahan Energi Mekanis dapat dinyatakan sebagai berikut.
83 dt
dA dt
dA dt
dE
in ex
kin
3.80
Oleh karena itu, persamaan kesetimbangan energi mekanis dapat diperoleh dengan mensubstitusikan Persamaan 3.62, 3.72, dan 3.79 ke Persamaan
3.80 sehingga diperoleh Persamaan 3.81 berikut.
b a
in b
a mek
b a
b a
b a
k k
Sdx n
dx x
Sv p
P Sdx
v g
dx pSv
x dx
v S
v x
S v
t
. sin
2 2
2 2
Perrnyataan pada sisi kanan pada Persamaan 3.81 dapat sederhanakan menjadi
mek b
a in
b a
P Sdx
n dx
x Sv
p S
v g
pSv x
. sin
mek b
a in
b a
P Sdx
n dx
S v
g x
Sv p
pSv x
. sin
mek b
a in
b a
P Sdx
n dx
S v
g x
p Sv
. sin
mek b
a in
b a
P Sdx
n dx
g x
p Sv
. sin
1
Oleh karena itu, Persamaan 3.81 dapat dinyatakan menjadi
mek b
a in
b a
b a
k k
P Sdx
n dx
g x
p Sv
dx v
S v
x S
v t
. sin
1 2
2
2 2
3.82
84
Jika fluida yang mengalir merupakan barotropic, maka tekanan pada fluida tersebut bergantung pada kepadatannya, sehingga
p p
. Hal ini menyebabkan
dp p
dp dp
,
dan
x p
x p
1
. Misalkan
x z
x
sin
,
dimana zx merupakan profil pipa. Maka Persamaan 3.82 menjadi sebagai berikut.
mek b
a in
b a
k k
P Sdx
n dx
x z
g x
p Sv
v S
v x
S v
t
. 2
2
2 2
3.83
Persamaan 3.83 dapat disederhanakan menjadi
mek b
a in
b a
k k
P Sdx
n dx
z g
p v
x Sv
v t
S
. 2
2
2 2
3.84
Untuk batas integral a dan b sebarang, dan diasumsikan bahwa P
mek
= 0, sehingga Persamaan 3.84 dapat dinyatakan sebagai berikut
S n
z g
p v
x Sv
v t
S
in k
k
. 2
2
2 2
atau
in k
k
n z
g p
v x
v v
t
2 2
2 2
3.85
Persamaan 3.85 tersebut merupakan Persamaan Kesetimbangan Energi Mekanis.
85
D. PENURUNAN PERSAMAAN KESETIMBANGAN ENERGI TOTAL
