63
x t
x v
t x
S t
x t
I
n i
i i
i
1
, ,
,
3.15 Nilai I pada Persamaan 3.15 merupakan pendekatan dari nilai momentum fluida
I. Untuk mendapatkan nilai I yang sebenarnya, dapat digunakan nilai limit dengan n menuju tak hingga mengingat adanya n partisi pada interval
adalah dengan menuju tak hingga. Oleh karena itu, diperoleh nilai I sebagai
berikut. x
t x
v t
x S
t x
t I
n i
i i
i n
1
, ,
, lim
3.16 Menurut definisi dari integral tentu integral Riemann yang menyatakan bahwa
misalkan I merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b], sedemikian sehingga nilai I ada, dan I terintegral pada selang [a,b], sehingga dari
Persamaan 3.16 diperoleh momentum fluida
b a
dx t
x v
t x
S t
x t
I ,
, ,
3.17
2. Gaya-Gaya yang Bekerja pada Fluida
Fluida yang dianalisa merupakan fluida sejati, sehingga mempunyai viskositas yang menyebabkan adanya gaya gesek. Selain itu, terdapat gaya-gaya
lain yang bekerja pada fluida di dalam suatu pipa yang diilustrasikan pada Gambar 3.6 berikut.
64
Pada volume kendali yang dipilih pada interval [a,b] terdapat beberapa gaya yang bekerja pada fluida, yaitu gaya yang bekerja pada ujung-ujung batas volume
kendali, gaya reaksi, dan gaya gesek. Gaya yang bekerja pada ujung batas volume kendali a adalah sebagai berikut
a a
a
S p
F
3.18
Gaya yang bekerja pada ujung batas volume kendali b adalah sebagai berikut
b b
b
S p
F
3.19
Fluida yang dianalisa merupakan fluida sejati, sehingga fluida mempunyai viskositas. Adanya viskositas tersebut menyebabkan gaya gesek pada fluida
menggesek seluruh penampang pipa. Pada dasarnya, gaya gesek merupakan gaya yang menghambat aliran fluida, sehingga arah gaya gesek berlainan dengan arah
aliran fluida. Untuk mencari gaya gesek yang bekerja pada volume kendali [a,b], volume kendali dipartisi menjadi n partisi, sehingga diperoleh bagian partisi yaitu
dengan dan . Gaya gesek merupakan
hasil kali dari keliling penampang pipa dikalikan dengan tegangan geser pada
�
Gambar 3.6 Gaya-Gaya yang Bekerja pada Fluida
b a
�
Gaya Gravitasi y
x
65
dinding pipa
w
. Dalam hal ini, digunakan asumsi bahwa keliling penampang pipa sama dengan luas selimut tabung. Misalkan
, maka gaya gesek pada interval
dapat dinyatakan sebagai berikut.
, ,
, t
x x
t x
d t
x t
F
i w
i i
i g
3.20
Persamaan 3.20 merupakan gaya gesek pada daerah ke-i hingga daerah ke i+1. Berdasarkan persamaan 3.20 diperoleh pendekatan nilai gaya gesek F
g
sebagai berikut.
n i
i g
g
t F
t F
1
3.21
Persamaan 3.20 disubstitusikan ke Persamaan 3.21, sehingga diperoleh
n i
i w
i i
g
x t
x t
x d
t x
t F
1
, ,
,
3.22
Nilai F
g
pada Persamaan 3.22 merupakan pendekan dari nilai gaya gesek pada pipa. Untuk mendapatkan nilai F
g
yang sebenarnya, dapat digunakan nilai limit dengan n menuju tak hingga. Oleh karena itu, diperoleh nilai F
g
sebagai berikut.
n i
i w
i i
n g
x t
x t
x d
t x
t F
1
, ,
, lim
3.23
Menurut definisi dari integral tentu integral Riemann yang menyatakan bahwa misalkan F
g
merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b],
66
sedemikian sehingga nilai F
g
ada, dan F
g
terintegral pada selang [a,b], sehingga dari Persamaan 3.23 diperoleh gaya gesek yang bekerja pada interval [a,b]
b a
w g
dx t
x t
x d
t x
t F
, ,
,
3.24
Adanya gaya gesek pada fluida, mengakibatkan adanya gaya reaksi dari aliran fluida itu sendiri. Gaya reaksi terjadi karena adanya gaya gesek, maka gaya reaksi
mempunyai arah berlawanan dengan gaya gesek, sehingga arah gaya reaksi searah dengan arah aliran fluida. Gaya reaksi pada suatu partikel pada aliran fluida dapat
dinyatakan dengan hasil kali dari tekanan dengan perubahan luas penampang pipa. Dipilih interval [a,b] sebagai volume kendali untuk mencari gaya gesek fluida
pada pipa. Kemudian, pada interval [a,b] dipartisi menjadi n partisi, sehingga diperoleh bagian partisi yaitu
dengan dan . Misalkan
, maka gaya reaksi pada interval dapat
dinyatakan sebagai berikut.
S t
x p
t F
i i
R
,
3.25 Persamaan 3.25 dapat dinyatakan menjadi
x x
S t
x t
F
i i
R
,
3.26
Persamaan 3.26 merupakan gaya reaksi pada daerah ke-i hingga daerah ke i+1. Berdasarkan persamaan 3.26 diperoleh pendekatan nilai gaya reaksi F
R
sebagai berikut.
67
n i
i R
R
t F
t F
1
3.27
Persamaan 3.26 disubstitusikan ke Persamaan 3.27, sehingga diperoleh
n i
i R
x x
S t
x p
t F
1
, 3.28
Nilai F
R
pada Persamaan 3.28 merupakan pendekan dari nilai gaya reaksi pada pipa. Untuk mendapatkan nilai F
R
yang sebenarnya, dapat digunakan nilai limit dengan n menuju tak hingga. Oleh karena itu, diperoleh nilai F
R
sebagai berikut.
n i
i n
R
x x
S t
x p
t F
1
, lim
3.29
Menurut definisi dari integral tentu integral Riemann yang menyatakan bahwa misalkan F
R
merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b], sedemikian sehingga nilai F
R
ada, dan F
R
terintegral pada selang [a,b], sehingga dari Persamaan 3.29 diperoleh gaya reaksi yang bekerja pada interval [a,b]
b a
R
dx x
S t
x p
t F
, 3.30
Gaya lain yang bekerja pada fluida adalah gaya gravitasi. Gaya gravitasi mengakibatkan adanya komponen yang menghambat aliran fluida yang mengalir
pada pipa, sehingga arah komponen gaya gravitasi berlawanan dengan arah aliran fluida. Dipilih interval [a,b] sebagai volume kendali untuk mencari Gaya gravitasi
yang bekerja pada fluida. Kemudian, pada interval [a,b] dipartisi menjadi n partisi,
68
sehingga diperoleh bagian partisi yaitu dengan dan
. Gaya gravitasi F
h
merupakan hasil kali dari massa m dan percepatan gravitasi g. Massa merupakan perkalian dari massa jenis
dan volume V, serta volume sama dengan luas penampang S dikali dengan tinggi
. Misalkan , maka gaya gravitasi pada interval
dapat dinyatakan sebagai berikut.
sin ,
, x
g x
t x
S t
x t
F
i i
i h
3.31
Persamaan 3.31 merupakan gaya gravitasi pada daerah ke-i hingga daerah ke i+1. Berdasarkan persamaan 3.31 diperoleh pendekatan nilai gaya gravitasi F
h
sebagai berikut.
n i
i h
h
t F
t F
1
3.32
Persamaan 3.31 disubstitusikan ke Persamaan 3.32, sehingga diperoleh
x t
x S
x g
t x
t F
i n
i i
h
, sin
,
1
3.33
Nilai F
h
pada Persamaan 3.33 merupakan pendekan dari nilai gaya gravitasi pada pipa. Untuk mendapatkan nilai F
h
yang sebenarnya, dapat digunakan nilai limit dengan n menuju tak hingga. Oleh karena itu, diperoleh nilai F
h
sebagai berikut.
x t
x S
x g
t x
t F
i n
i i
n h
, sin
, lim
1
3.34
69
Menurut definisi dari integral tentu integral Riemann yang menyatakan bahwa misalkan F
h
merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b], sedemikian sehingga nilai F
h
ada, dan F
h
terintegral pada selang [a,b], sehingga dari Persamaan 3.34 diperoleh gaya gravitasi yang bekerja pada interval [a,b]
b a
h
dx t
x S
x g
t x
t F
, sin
,
3.35
3. Persamaan Momentum Fluida
