PENURUNAN PERSAMAAN KONTINUITAS FLUIDA

52

BAB III PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dibahas tentang penurunan sistem persamaan lengkap untuk pemodelan matematika aliran fluida 1 dimensi pada pipa. Sistem persamaan lengkap tersebut terdiri dari persamaan kontinuitas fluida, persamaan momentum fluida, persamaan kesetimbangan energi mekanis fluida, dan persamaan kesetimbangan energi total fluida. Berikut ini penjelasan lebih lanjut.

A. PENURUNAN PERSAMAAN KONTINUITAS FLUIDA

Fluida merupakan sesuatu yang dapat mengalir sehingga sering disebut sebagai zat alir, dapat berupa zat cair maupun gas. Fase cair dan gas memiliki karakter tidak mempertahankan suatu bentuk yang tetap, sehingga keduanya mempunyai kemampuan untuk mengalir, dengan demikian keduanya disebut fluida. Berikut langkah-langkah pemodelan Matemarika pada penurunan persamaan kontinuitas fluida. 1. Pengamatan fenomena sistem fisik yang akan dimodelkan. Pada pemodelan persamaan kontinuitas fluida, diamati adanya aliran fluida yang mengalir secara terus-menerus kontinu pada suatu pipa. Pada pengamatan ini, akan diamati elemen-elemen yang terlihat yang mempengaruhi aliran fluida mengalir, seperti kecepatan aliran, dan perubahan luas penampang pipa. 53 2. Mengidentifikasi beberapa elemen yang menyusun sistem, termasuk variabel dependen dan variabel independen. Setelah melakukan pengamatan, dilakukan identifikasi beberapa elemen yang terlihat pada pengamatan sebelumnya. Jika sebelumnya diperoleh kecepatan dan perubahan luas penampang pada aliran fluida pada pipa, maka identifikasi sementara dapat diperoleh kecepatan dan luas penampang sebagai variabel dependen, dan waktu sebagai variabel independen. 3. Identifikasi banyak elemen yang menyusun sistem dan pengidentifikasian hubungan sebab akibat. Pada proses aliran fluida, tentu tidak hanya kecepatan dan luas penampang pipa yang menjadi elemen penyebab mengalirnya fluida. Aliran fluida tentu mempunyai massa aliran fluida serta volume aliran fluida pada waktu tertentu. Adanya massa dan volume pada waktu tertentu menyebabkan adanya massa jenis fluida pada waktu tersebut. 4. Penurunan model Matematika menggunakan variabel dependen, yaitu dengan mengeksplor hubungan antara sebab akibat yang dimiliki. Setelah mendapatkan elemen-elemen yang mempengaruhi aliran fluida tersebut, maka langkah berikutnya yaitu memodelkan persamaan kontinuitas fluida. Dimisalkan M adalah massa aliran fluida, dan t adalah waktu. Massa aliran fluida merupakan fungsi atas posisi x dan waktu t. Berdasarkan Hukum Kekekalan Massa, yaitu perubahan massa aliran fluida terhadap waktu sama dengan nol, sehingga diperoleh formulasi persamaan kontinuitas sebagai berikut. 54    t M Pada penurunan persamaan-persamaan fluida ini, fluida yang digunakan adalah fluida dinamis karena bergerak terus menerus dan diasumsikan selalu memenuhi seluruh bagian penampang pipa. Pada tugas akhir ini, pipa yang digunakan dapat mengalami deformasi. Deformasi pada pipa merupakan perubahan luas penampang pipa yang disebabkan karena potensial dari aliran fluida. Adapun asumsi yang digunakan dalam proses aliran menggunakan kondisi seperti di bawah ini. 1. Fluida sejati. Pada fenomena yang terjadi seperti mengalirnya air di sungai serta mengalirnya lava dari puncak gunung berapi, zat yang mengalir tersebut mempunyai gaya gesek-gaya gesek yang terjadi karena adanya kekentalanviskositas. Fluida yang memiliki viskositas merupakan fluida sejati, sedangkan asumsi yang biasa digunakan pada penelitian adalah fluida ideal. Pada tugas akhir ini digunakan asumsi bahwa fluida yang dianalisa merupakan fluida sejati tidak fluida ideal. 2. Fluida yang digunakan adalah fluida homogen. Fluida homogen merupakan fluida yang tidak berasal dari campuran beberapa zat, sehingga fluida yang digunakan tidak memiliki konsentrasi tetapi memiliki massa jenis. 3. Fluida selalu mengisi penuh seluruh bagian pipa secara terus-menerus. Aliran fluida yang digunakan tidak pernah berhenti, selalu mengalir dan mengisi penuh seluruh bagian pipa secara terus-menerus. 55 4. Aliran fluida merupakan aliran laminar atau aliran lurus. Aliran laminar yaitu aliran dari seluruh partikel fluida bergerak lurus sepanjang garis yang sejajar dengah arah aliran atau sejajar dengan garis tengah pipa, jika fluida mengalir di dalam pipa. Pada pengamatan aliran sungai, air yang mengalir lurus dan tidak terjadi aliran yang melingkar aliran tidak turbulen. 5. Aliran fluida hanya mengalir searah absis positif. Aliran fluida mengalir ke arah absis positif dan tidak mengalir ke arah absis negatif maupun mengalir searah dengan ordinat. Pada aliran sungai dan aliran lava yang diamati, aliran yang mengalir hanya berasal pada satu sumber kemudian mengalir ke arah lain, tidak ada aliran lain yang mengalir berlawanan arah dengan arah aliran yang berasal dari sumber tersebut. Gambar 3. 1 Ilustrasi Aliran Laminar dan Searah Absis Positif 6. Viskositas kekentalan fluida konstan. Viskositas atau kekentalan pada fluida konstan sehubungan dengan fluida yang digunakan merupakan fluida homogen. 7. Batas volume kendali yang dipilih dapat berubah-ubah. 56 Untuk menganalisa aliran fluida, dapat dipilih sebarang volume kendali yang diamati. Akan tetapi, batas volume kendali yang dipilih dapat berubah-ubah sehingga batas tersebut merupakan suatu fungsi atas waktu. Hal ini sehubungan dengan aliran sungai dan aliran lava yang mengalir pada suatu wilayah mempunyai batas wilayah aliran yang berubah-ubah. Gambar 3. 2 Aliran Fluida pada Pipa Gambar 3.3 Ilustrasi Pengamatan Volume Kendali [a,b] untuk Persamaan Kontinuitas Fluida � S b a x y z Aliran Masuk Aliran Keluar Volume V Massa Jenis ρ Massa Aliran M 57 Persamaan kontinuitas merupakan pengembangan dari hukum kekekalan massa yaitu massa aliran fluida yang masuk sama dengan massa aliran fluida yang keluar. Oleh karena itu, diperlukan massa aliran fluida pada pipa untuk memperoleh persamaan kontinuitas fluida. Untuk menganalisa massa aliran fluida secara matematis, fluida dianalisa dari partikel-partikel kecil yang terdapat pada fluida. Massa aliran fluida diperoleh dengan cara menjumlahkan massa-massa setiap partisi atau partikel-partikel kecil pada fluida. Gambar 3.2 di atas merupakan ilustrasi fluida yang mengalir pada pipa. Dipilih interval [a,b] sebagai volume kendali untuk mencari massa aliran fluida yang mengalir pada pipa, dengan a dan b merupakan fungsi atas waktu t. Pada interval [a,b] dipartisi menjadi n partisi, sehingga diperoleh bagian partisi yaitu dengan dan . Untuk lebih jelasnya, dapat dilihat pada Gambar 3.4 di bawah ini. Gambar 3. 4 Partisi Fluida pada Pipa di [a,b] Massa aliran fluida merupakan jumlahan dari massa m daerah ke- hingga daerah ke- + . Massa merupakan perkalian dari kepadatan fluida dan volume V. Untuk menganalisa volume dari partisi fluida, digunakan asumsi bahwa partisi fluida tersebut mempunyai volume yang sama dengan volume tabung. Dalam hal ini, volume partisi sepanjang adalah dengan S adalah a= = � � � � 58 luas penampang pipa. Kepadatan fluida , volume V dan luas penampang pipa S tidak konstan pada setiap titik dalam fluida. Misalkan , maka massa pada interval dapat dinyatakan sebagai berikut. x t x S t x t m i i i    . , ,  3.1 Persamaan 3. 1 merupakan massa pada daerah ke- hingga daerah ke- + Dari Persamaan 3.1 diperoleh pendekatan nilai massa aliran fluida M sebagai berikut.    n i i t m t M 1 3.2 Persamaan 3.1 disubstitusikan ke Persamaan 3.2, sehingga      n i i i x t x S t x t M 1 . , ,  3.3 Nilai M pada Persamaan 3.3 merupakan pendekatan dari nilai massa aliran fluida M. Untuk mendapatkan nilai M yang sebenarnya, dapat digunakan nilai limit dengan n menuju tak hingga mengingat adanya n partisi pada interval adalah dengan menuju tak hingga. Oleh karena itu, diperoleh nilai M sebagai berikut.         n i i i n x t x S t x t M 1 , , lim  3.4 Menurut definisi dari integral tentu integral Riemann yang menyatakan bahwa misalkan M merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b], 59 sedemikian sehingga nilai M ada, dan M terintegral pada selang [a,b], sehingga Persamaan 3.4 menjadi    b a dx t x S t x t M , ,  3.5 dengan dan merupakan fungsi atas waktu t. Persamaan kontinuitas merupakan pengembangan dari hukum kekekalan massa yaitu massa aliran fluida yang masuk sama dengan massa aliran fluida yang keluar, sehingga dapat dikatakan jika perubahan massa aliran fluida terhadap waktu sama dengan nol.  dt t dM 3.6 Persamaan 3.5 disubstitusikan ke Persamaan 3.6, sehingga diperoleh , ,    b a dx t x S t x dt d  3.7 Batas integral dan merupakan fungsi atas t, dengan menggunakan aturan Leibniz Teorema 2.12, Persamaan 3.7 dapat diuraikan menjadi sebagai berikut dt da t x S t x dt db t x S t x dx t x S t x t dx t x S t x dt d a b b a b a , , , , ] , , [ , ,                Untuk kasus volume media cairan, nilai dari dan sama dengan nilai kecepatan pada saat b dan a. Oleh karena itu, 60 a b b a b a t x S t x v t x t x S t x v t x dx t x S t x t dx t x S t x dt d , , , , , , ] , , [ , ,                  3.8 Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus I, diperoleh bahwa dx t x S t x v t x x t x S t x v t x t x S t x v t x b a a b ] , , , [ , , , , , ,               sehingga Persamaan 3.8 menjadi dx t x S t x v t x x dx t x S t x t dx t x S t x dt d b a b a b a ] , , , [ ] , , [ , ,                 3.9 Persamaan 3.9 disederhanakan dengan menggunakan definisi total derivatif, sehingga diperoleh dx x vS t S Sdx dt d b a b a                   3.10 Berdasarkan persamaan 3.7 dan Persamaan 3.10 dapat diperoleh bahwa              dx x vS t S b a   3.11 Menurut Teorema Integral, jika integral suatu fungsi sama dengan nol dan , maka fungsi tersebut merupakan fungsi nol, sehingga Persamaan 3.11 menjadi       x vS t S   3.12 Persamaan 3.12 disebut dengan Persamaan Kontinuitas Fluida pada Pipa. 61

B. PENURUNAN PERSAMAAN MOMENTUM GERAK FLUIDA