69
Menurut definisi dari integral tentu integral Riemann yang menyatakan bahwa misalkan F
h
merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b], sedemikian sehingga nilai F
h
ada, dan F
h
terintegral pada selang [a,b], sehingga dari Persamaan 3.34 diperoleh gaya gravitasi yang bekerja pada interval [a,b]
b a
h
dx t
x S
x g
t x
t F
, sin
,
3.35
3. Persamaan Momentum Fluida
Berdasarkan Hukum Kedua Newton, diperoleh bahwa
F
dt dI
3.36
Persamaan 3.17 disubstitusikan ke Persamaan 3.36, sehingga diperoleh
F dx
t x
v t
x S
t x
dt d
b a
, .
, ,
3.37 Gaya-gaya yang bekerja pada pipa seperti pada Persamaan 3.18,3.19, 3.24,
3.30 dan 3.35 disubstitusikan pada Persamaan 3.37 dengan menggunakan tanda positif untuk gaya yang searah dengan aliran fluida, serta tanda negatif
untuk gaya yang berlawanan arah dengan aliran fluida seperti pada Gambar 3.4, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut.
Sdx x
g dx
x S
p dx
d S
p S
p vdx
S dt
d
b a
b a
w b
a b
a b
b a
a
sin
3.38
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus II, gaya yang bekerja pada ujung batas volume kendali a dan b dapat diuraikan menjadi sebagai berikut.
70
b a
b b
a a
dx x
pS S
p S
p 3.39
Persamaan 3.39 dapat diuraikan menggunakan penerapan turunan fungsi perkalian, sehingga diperoleh
b a
b b
a a
dx x
p S
x S
p S
p S
p 3.40
Persamaan 3.40 disubstitusikan pada Persamaan 3.38, menjadi
Sdx x
g dx
x S
p dx
d dx
x p
S x
S p
vdx S
dt d
b a
b a
w b
a b
a b
a
sin
3.41
Persamaan 3.41 disederhanakan menjadi
b a
w b
a b
a b
a
dx x
g S
dx d
dx x
p S
vdx S
dt d
sin
3.42
Pada persamaan 3.42 pernyataan d
yang merupakan keliling alas pipa dapat diuraikan menjadi
d S
4
, sehingga diperoleh
b a
w b
a b
a b
a
dx x
g S
dx d
S dx
x p
S vdx
S dt
d sin
4
3.43
Batas integral pada ruas kanan Persamaan 3.43 adalah sama, maka Persamaan 3.43 dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut
71
b a
b a
w
dx x
g S
d S
x p
S vdx
S dt
d sin
4
3.44
Berdasarkan aturan pada persamaan 3.10, ruas kiri pada persamaan 3.44 dapat diubah menjadi
b a
b a
dx x
S v
t vs
vdx S
dt d
2
3.45
Persamaan 3.45 disubstitusikan pada Persamaan 3.44, sehingga
b a
w b
a
dx x
g S
d S
x p
S dx
x S
v t
vs sin
4
2
3.46
Persamaan 3.46 dapat disederhanakan sebagai berikut
sin .
. .
4
2
dx x
g S
d S
x p
S x
S v
t vS
b a
w
3.47
Berdasarkan Teorema Integral, jika integral suatu fungsi sama dengan nol dan , maka fungsi tersebut merupakan fungsi nol, sehingga diperoleh
sin .
. .
4
2
x
g S
d S
x p
S x
S v
t vS
w
atau
sin
. .
4
2
x g
d x
p S
x S
v t
vS
w
3.48
72
Berdasarkan aturan turunan fungsi perkalian, ruas kiri pada persamaan 3.48 dapat diuraikan menjadi
x v
vS x
vS v
t v
S t
S v
x S
v t
vS
2
3.49
Persamaan 3.49 disederhanakan, sehingga
x
v v
t v
S x
vS t
S v
x S
v t
vS
2
3.50
Kemudian, berdasarkan Persamaan 3.12 yaitu +
, maka Persamaan 3.50 menjadi
x
v v
t v
S x
S v
t vS
2
3.51
Persamaan 3.51 disubstitusikan ke Persamaan 3.48, sehingga diperoleh persamaan
sin
. .
4 x
g d
x p
S x
v v
t v
S
w
3.52
Karena , maka Persamaan 3.52 menjadi
sin .
. 4
x g
d x
p v
x v
t v
w
3.53
Berdasarkan definisi total derivatif, pernyataan
v x
v t
v
pada persamaan 3.53 merupakan perubahan kecepatan terhadap waktu yang biasa disebut dengan
73
percepatan. Akibatnya, dapat diperoleh bahwa perkalian dari kepadatan fluida dan percepatan fluida sama dengan jumlah dari semua gaya yang bekerja pada fluida.
Oleh karena itu, Persamaan 3.53 merupakan hukum kedua Newton dan dapat disebut juga dengan Persamaan Momentum Fluida.
C. PENURUNAN
