15
C. TURUNAN PARSIAL
Turunan parsial merupakan turunan dari sebuah fungsi dari beberapa variabel terhadap salah satu variabel bebasnya, dengan menganggap semua variabel bebas
yang lainnya konstan Spiegel, 1992.
Definisi 2.2 Turunan Parsial Spiegel, 1992
Misalkan suatu fungsi f merupakan fungsi dari dua variabel x dan y. turunan parsial dari f terhadap x dan y berturut-turut dinyatakan oleh
dan , dengan
definisi:
y y
x f
y y
x f
y f
dan x
y x
f y
x x
f x
f
y x
, ,
lim ,
, lim
jika limit-limit itu ada.
Andaikan bahwa f adalah suatu fungsi dua variabel x dan y. Jika y dijaga agar tetap konstan, dikatakan
, maka adalah fungsi satu variabel x.
Turunannya di disebut turunan parsial f terhadap x di
dan dinyatakan oleh
. Jadi
. ,
, lim
, x
y x
f y
x x
f y
x f
x x
Dengan cara yang sama, turunan parsial f terhadap y di dan dinyatakan
oleh dan diberikan oleh
. ,
, lim
, y
y x
f y
y x
f y
x f
y y
16
Turunan-turunan parsial f yang dihitung di titik dapat pula dinyatakan
dengan
,
, y
x f
x f
x y
x
dan
. ,
,
y x
f y
f
y y
x
Contoh: Misalkan
+ , maka secara umum
x y
x f
y x
x f
x f
x
, ,
lim
. 4
8 2
4 2
4 2
4 8
4 lim
2 4
. 2
4 lim
3 3
2 2
3 2
3 3
2 2
2 3
2 2
3 2
2
xy x
x y
x x
y x
xy x
y x
x x
x x
x y
x x
y x
x x
x
x x
Sedangkan,
. 6
2 4
3 3
2 4
lim 2
4 .
2 4
lim ,
, lim
2 2
3 2
2 3
2 2
3 2
2 3
2 2
3 2
2
y x
y y
x x
y y
y y
y y
x x
y y
x x
y y
x x
y y
x f
y y
x f
y f
y y
y
17
D. ATURAN RANTAI
Aturan rantai dapat digunakan untuk mempermudah penurunan suatu fungsi komposit. Fungsi komposit merupakan suatu fungsi yang variabel bebasnya
adalah suatu fungsi juga.
Teorema 2.8 Aturan Rantai Fungsi Satu Variabel Valberg, Purcell, Rigdon, 2008
Misalkan dan . Jika g terdiferensiasikan di x dan f
terdiferensisasikan di , maka fungsi komposit
g f
, yang didefinisikan oleh
x g
f x
g f
, adalah terdiferensiasikan di x dan
x g
x g
f x
g f
yakni
x g
x g
f x
g f
D
x
atau
. dx
du du
dy dx
dy
Bukti. Misalkan bahwa
dan , bahwa g terdiferensiasikan di x dan bahwa f terdiferensiasikan di
. Ketika x diberikan pertambahan
∆x, terdapat pertambahan yang berkorespondensi dalam u dan y yang diberikan oleh
x g
f x
x g
f y
x g
x x
g u
18 .
u f
u u
f y
Jadi,
. lim
lim lim
lim
x u
u y
dx dy
x u
u y
x y
dx dy
x x
x x
Karena g terdiferensiasikan di x, maka g kontinu di x, sehingga
x mengakibatkan
u
. Oleh karena itu,
x u
u y
dx dy
x u
lim lim
. dx
du du
dy dx
dy
■
Aturan rantai ini dapat mempermudah dalam menyelesaikan permasalahan persamaan differensial maupun permasalahan turunan.
Teorema 2.9 Aturan Rantai Fungsi Dua Variabel Varberg, Purcell, Rigdon, 2011
Misalkan dan terdiferensiasikan di t dan misalkan
terdiferensiasikan di . Maka dapat didiferensiasikan
di t dan .
dt dy
dy dz
dt dx
dx dz
dt dz
Aturan rantai fungsi dua variabel digunakan dalam proses penurunan persamaan momentum fluida.
19
E. FLUIDA