77
2. Perubahan Usaha Eksternal pada Fluida terhadap Waktu
Pada kasus aliran fluida pada pipa ini, perubahan usaha eksternal yang bekerja pada fluida terhadap waktu sama dengan jumlah daya dari gaya luar yang
menyebabkan fluida mengalir. Daya merupakan perkalian antara gaya dan kecepatan. Daya yang bekerja pada fluida antara lain daya dari gaya tekanan pada
ujung-ujung volume kendali, gaya gravitasi, dan daya dari alat mekanik eksternal yang membuat aliran fluida bergerak.
Dipilih interval [a,b] sebagai volume kendali untuk menganalisa daya yang bekerja pada fluida. Kemudian, pada interval [a,b] dipartisi menjadi n partisi,
sehingga diperoleh bagian partisi yaitu dengan dan
. Pada volume kendali yang dipilih pada interval [a,b] terdapat daya yang bekerja pada ujung-ujung volume kendali tersebut. Arah daya yang
masuk volume kendali searah dengan aliran fluida, sehingga arah daya yang masuk volume kendali daya pada ujung batas a bernilai positif. Daya yang
bekerja pada ujung batas volume kendali a adalah sebagai berikut
a a
a a
v S
p P
3.63 Daya tekanan yang bekerja pada ujung batas volume kendali b mempunyai arah
yang berlawanan dengan aliran fluida. Daya tekanan pada ujung batas b adalah sebagai berikut
b b
b b
v S
p P
3.64
78
Daya gravitasi merupakan salah satu daya yang menyebabkan aliran fluida dapat mengalir. Seperti analisa tentang daya sebelumnya, daya gravitasi dianalisa
berdasarkan partisi-partisi fluida. Daya gravitasi mengakibatkan adanya komponen yang menghambat aliran fluida yang mengalir pada pipa, sehingga arah
komponen daya gravitasi berlawanan dengan arah aliran fluida. Daya gravitasi sama dengan hasil kali dari gaya gravitasi dan kecepatan. Misalkan
dan gaya gravitasi pada partisi telah diperoleh sebelumnya
yaitu pada Persamaan 3.31, maka daya gravitasi pada interval dapat
dinyatakan sebagai berikut.
, sin
, ,
t x
v x
g x
t x
S t
x t
P
i i
i i
h
3.65
Persamaan 3.65 merupakan daya gravitasi pada daerah ke-i hingga daerah ke i+1. Berdasarkan persamaan 3.65 diperoleh pendekatan nilai daya gravitasi P
h
sebagai berikut.
n i
i h
h
t P
t P
1
3.66
Persamaan 3.65 disubstitusikan ke Persamaan 3.66, sehingga diperoleh
n i
i i
i h
x t
x S
t x
v x
g t
x t
P
1
, ,
sin ,
3.67
Nilai P
h
pada Persamaan 3.67 merupakan pendekan dari nilai daya gravitasi pada pipa. Untuk mendapatkan nilai P
h
yang sebenarnya, dapat digunakan nilai
79
limit dengan n menuju tak hingga. Oleh karena itu, diperoleh nilai P
h
sebagai berikut.
n i
i i
i n
h
x t
x S
t x
v x
g t
x t
P
1
, ,
sin ,
lim
3.68
Menurut definisi dari integral tentu integral Riemann yang menyatakan bahwa misalkan P
h
merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b], sedemikian sehingga nilai P
h
ada, dan P
h
terintegral pada selang [a,b], sehingga dari Persamaan 3.68 diperoleh daya gravitasi yang bekerja pada interval [a,b]
b a
h
dx t
x S
t x
v x
g t
x t
P ,
, sin
,
3.69
Daya lain yang dapat menyebabkan fluida mengalir adalah daya dari alat mekanik yang membuat aliran fluida bergerak. Alat mekanik tersebut contohnya
seperti pompa yang membantu aliran fluida bergerak, sehingga arah daya pompa searah dengan alirah fluida. Dalam hal ini, daya pompa yang bekerja pada fluida
dilambangkan dengan P
mek
. Perubahan usaha eksternal yang bekerja pada fluida terhadap waktu sama
dengan jumlah dari daya tekanan pada ujung-ujung volume kendali, daya gravitasi, dan daya dari alat mekanik yang membuat aliran fluida bergerak. Untuk
menentukan jumlah dari daya-daya yang menyebabkan aliran fluida bergerak, digunakan asumsi bahwa daya bernilai positif jika searah dengan aliran fluida, dan
bernilai negative jika berlawanan arah dengan aliran fluida. Oleh karena itu,
80
perubahan usaha eksternal yang bekerja pada fluida terhadap waktu dapat diformulasikan sebagai berikut.
mek b
a b
b b
a a
a ex
P Sdx
v g
v S
p v
S p
dt dA
sin .
3.70
Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus, daya tekanan pada ujung batas volume kendali a dan b dapat diuraikan menjadi sebagai berikut.
b a
b b
b a
a a
dx pSv
x v
S p
v S
p .
3.71
Persamaan 3.71 disubstitusikan pada Persamaan 3.70, sehingga diperoleh
mek b
a b
a ex
P Sdx
v g
dx pSv
x dt
dA
sin 3.72
3. Perubahan Usaha Internal Fluida terhadap Waktu
Kategori