Sifat-sifat Dasar Kekongruenan TEORI KEKONGRUENAN

B. TEORI KEKONGRUENAN

1. Sifat-sifat Dasar Kekongruenan

Salah satu aplikasi dari algoritma pembagian yang cukup penting adalah arimetika modulo. Arimetika modulo merupakan suatu penerapan metode menghitung yang sering digunakan. Sebagai contoh, jika sekarang adalah September, bulan apakah yang akan muncul bulan dari sekarang? Tentu saja jawabannya adalah Oktober, tetapi hal yang menarik adalah jawabannya tidak diperoleh dengan menghitung bulan mulai dari September. Daripada melakukan hal yang demikian, dengan mudah mengamati bahwa , dan dengan menambahkan bulan terhadap September maka jawabannya adalah Oktober. Dengan cara yang sama, jika sekarang adalah hari Rabu, maka dapat diketahui bahwa hari yang akan datang adalah hari Jumat. Dalam hal ini, jawaban dapat diperoleh dengan menulis bahwa , jadi cukup dengan menambahkan hari terhadap hari Rabu daripada harus menghitung sampai hari. Ketika a = qn + r, dimana adalah hasil bagi dari dengan dan adalah sisa dari pembagian dengan , dapat ditulis sebagai atau . Dengan demikian, karena , karena , karena . Secara lebih umum dapat ditulis dalam definisi berikut. Definisi 2.4 Kongruen Misalkan dan adalah bilangan bulat positif, dikatakan bahwa kongruen mod , ditulis jika . Bilangan bulat positif disebut modulus. Jika membagi selisih , hal ini menunjukkan bahwa untuk suatu k anggota bilangan bulat. Ketika , dapat dikatakan bahwa tak kongruen terhadap modulo , dan dalam hal ini ditulis . Dalam definisi 2.4, terdapat pilihan untuk , dapat dilihat bahwa setiap bilangan bulat kongruen modulo ke salah satu dari nilai-nilai , , , . . . , . Secara khusus, jika dan hanya jika . Himpunan bilangan bulat { disebut himpunan sisa-sisa tak-negatif terkecil modulo atau . Contoh 2.5 Misal . Ini karena yaitu . Contoh 2.6 Misal karena . Teorema berikut akan memberikan manfaat dari kongruen modulo di dalam bentuk sisa-sisa pembagian dengan . Teorema 2.6 Untuk bilangan bulat dan yang berbeda, jika dan hanya jika dan meninggalkan sisa-sisa tak-negatif yang sama ketika dibagi dengan . Bukti: Misal , berarti untuk suatu . Misalkan sisa dari bila dibagi dengan , adalah , yaitu: , dimana . Oleh karena itu, , Ini menunjukkan bahwa mempunyai sisa yang sama dengan , yaitu . Misal dan meninggalkan sisa yang sama ketika dibagi dengan berarti dapat ditulis bahwa dan dimana . Maka . Ini berarti . Menurut Definisi 2.4, dapat ditulis . ∎ Contoh 2.7 Perhatikan bilangan bulat dengan , dan . Keduanya dan dapat dinyatakan ke dalam bentuk: dan dengan sisa yang sama yaitu . Menurut Teorema 2.2, dapat ditulis bahwa . Begitu juga dengan, mengakibatkan dan mempunyai sisa yang sama ketika dibagi dengan , yaitu: dan . Kongruensi dapat dilihat sebagai generalisasi bentuk kesamaan equality, dalam pengertian bahwa sifatnya terhadap penjumlahan dan perkalian mengingatkan kepada kesamaan biasa. Beberapa sifat dasar kesamaan yang berlaku terhadap kekongruenan muncul dalam teorema berikut. Teorema 2.7 Sifat-sifat Dasar Kekongruenan Misalkan dan bilangan bulat yang berbeda. Maka berlaku sifat berikut: . Sifat Refleksif Jika , maka . Sifat Simetris Jika dan , maka . Sifat Transitif Jika dan , maka dan . Jika , maka dan . Bukti: Untuk sifat , karena , berarti . Dengan demikian . Untuk sifat , andaikan maka dapat ditulis untuk suatu . Dengan mengkalikan terhadap kedua ruas, maka diperoleh: . Karena , berarti dapat ditulis . Untuk sifat , misalkan bahwa dan . Maka terdapat yang memenuhi dan . Ini berarti yang dapat ditulis sebagai . Untuk sifat , misalkan bahwa dan . Maka terdapat yang memenuhi dan . Ini berarti . Begitu juga, kedua ruas ditambah Karena dan , hal ini menunjukkan bahwa dan dapat dibagi dengan . Oleh karena itu, dari dan dapat ditulis ke dalam bentuk kongruen yaitu: dan . Untuk membuktikan sifat cukup dengan menggunakan sifat dan sifat dimana . Sehingga dan ∎ Di dalam penerapannya, ketika ingin menghitung atau , dan a atau b yang lebih besar dari n, akan lebih mudah dengan menghitung “mod first”. Sebagai contoh, untuk menghitung perhatikan bahwa dan , sehingga diperoleh . Contoh 2.8 Tentukan, , dan , karena . , karena . Untuk beberapa materi yang akan datang akan sering dihadapkan dengan masalah dalam menyelesaikan kekongruenan untuk suatu . Kunci untuk menyelesaikan masalah yang demikian adalah gagasan tentang invers modulo . Definisi 2.5 Invers Modulo Misalkan . Bilangan disebut sebagai invers perkalian dari modulo , jika . Invers perkalian dari modulo biasa ditulis . Teorema 2.8 Invers Perkalian Modulo Bilangan mempunyai invers perkalian modulo jika dan hanya jika . Bukti: Andaikan mempunyai invers modulo , sebut . Maka mengakibatkan , untuk . Dapat ditulis dengan . Menurut Teorema 2.4, berarti dan relatif prima atau . Misalkan , maka menurut Teorema 2.4 dapat ditulis dalam bentuk . Ini berarti yang mengakibatkan . Dengan demikian sehingga adalah invers dari modulo . ∎ Contoh 2.9 Bilangan bulat mempunyai invers perkalian modulo 26 karena dan relatif prima. Invers perkalian tersebut dapat diperoleh dengan menemukan yang memenuhi kekongruenan . Kekongruenan ini dapat diselesaikan dengan mencoba penyelesaian- penyelesaian yang mungkin, yaitu . Dengan cara ini akan diperoleh sebagai penyelesaian dari kekongruenan tersebut, karena Dengan demikian, .

2. Kekongruenan Linear