Notasi dan Istilah-istilah Matriks Invers Matriks

C. MATRIKS

1. Notasi dan Istilah-istilah Matriks

Matriks merupakan susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan tersebut disebut elemen-elemen. Matriks yang mempunyai baris dan kolom dikatakan berukuran dibaca “ kali ”. Perhatikan beberapa contoh berikut: [ ], , [ ], , [ ]. Untuk menyatakan suatu matriks biasanya menggunakan huruf kapital, dan untuk menyatakan elemen-elemen dari matriks tersebut digunakan huruf kecil. Secara lebih umum, suatu matriks berukuran dinyatakan sebagai berikut: [ ]. Matriks di atas dapat dinotasikan dengan [ ] atau [ ], dimana dan . Matriks yang mempunyai baris dan kolom disebut mariks persegi. Elemen-elemen , , . . . , disebut sebagai diagonal utama dari matriks tersebut. [ ] Gambar 2.1: Diagonal Utama Matriks Matriks persegi dengan elemen-elemen yang terletak sepanjang diagonal utama dan selain diagonal utamanya disebut matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan dengan . Gambar 2.2: Matriks Identitas Simbol atau digunakan untuk menyatakan elemen pada baris dan kolom dari matriks . Sebagai contoh, jika maka , , , dan .

2. Invers Matriks

Dalam aritmetika biasa, setiap bilangan taknol mempunyai kebalikan reciprocal dengan sifat . Bilangan kadang disebut invers perkalian . Pembahasan selanjutnya adalah untuk melihat hasil yang analog ini dalam aritmetika matriks. Definisi 2.6 Invers Matriks Jika merupakan matriks persegi, dan jika terdapat matriks dengan ukuran yang sama seperti sedemikian sehingga maka dikatakan invertibel atau tak singular, dan disebut invers dari . Jika tidak terdapat matriks dengan sifat ini, maka dikatakan singular . Perhatikan bahwa syarat tidak berubah dengan menukar dan . Dengan demikian, jika invertibel dan invers dari , maka invertibel dan invers dari juga benar. Karena itu, ketka syarat berlaku, hal ini benar untuk mengatakan bahwa dan merupakan invers satu sama lain. Contoh 2.10: Misal dan . Maka . . Dengan demikian, dan invertibel dan masing-masing invers satu sama lain. Selanjutnya dalam bagian ini akan dibicarakan metode yang umum untuk menghasilkan invers dari suatu matriks invertible. Tetapi, dalam kasus sederhana dari matriks invertibel berukuran , inversnya dapat diperoleh menggunakan rumus dalam teorema berikut. Teorema 2.11 Invers Matriks Matriks adalah invertible jika dan hanya jika , dalam kasus dimana invers diberikan dengan rumus Bukti: MIsal dan , maka Pembagian dari elemen-elemen matriks di atas dapat dilakukan jika dan hanya jika penyebut tidak sama dengan nol. Berarti, . Sehingga dihasilkan . Begitu juga . ∎ Kuantitas dalam teorema di atas disebut determinan matriks berukuran dan dinotasikan dengan . Dengan istilah determinan, Teorema diatas mengatakan bahwa matriks berukuran invertibel jika dan hanya jika . Contoh 2.11: Tentukan invers matriks . Karena , maka invertibel dan

3. Determinan secara Umum