SANDI HILL Kriptografi klasik.

E. SANDI HILL

Sejauh ini telah dibicarakan tentang sandi-sandi yang prosesnya yaitu mengganti satu huruf dengan satu huruf. Apabila prosesnya diubah yaitu dengan melakukan penggantian menjadi suatu blok huruf dengan suatu blok huruf, tentu saja suatu sandi akan menjadi lebih rumit. Oleh karena itu lebih sulit bagi musuh untuk memecahkan sandi tersebut. Sebagai contoh, jika ditentukan untuk menggunakan blok-blok yang terdiri dari dua huruf, maka teks-asal dapat dipecah menjadi blok-blok yang terdiri dari dua huruf dan kemudian menggantinya menurut kunci yang telah ditetapkan sebelumnya. Misal, dengan kesepakatan bahwa setiap waktu kita melihat diganti dengan , setiap kali melihat diganti dengan , dan lain-lain. Sebagai catatan bahwa terdapat kemungkinan pasangan huruf, sehingga apabila dua orang yang ingin mengirim pesan rahasia satu sama lain maka harus setuju dan mengingat semua kemungkinan tersebut. Jika digunakan blok-blok yang terdiri dari tiga huruf, maka terdapat pergantian. Apabila ukuran blok semakin mengingat, maka semakin banyak kemungkinan yang harus diperiksa oleh musuh. Tetapi masalahnya adalah apabila ukuran blok semakin meningkat, maka banyaknya pergantian yang harus disepakati dan diingat oleh kedua pihak juga semakin banyak. Berikut ini akan dibicarakan tentang Sandi Hill, ditemukan pada 1929 oleh Lester S. Hill. Sandi ini akan memberikan gambaran yang lebih ringkas cara untuk mengganti blok-blok huruf dengan blok-blok huruf. Pada bagian ini, diandaikan hanya kasus dimana ukuran blok adalah . Untuk teks-asal dapat ditulis ke dalam bentuk dan teks-sandi dapat ditulis ke dalam bentuk . Ini dapat ditulis lebih ringkas ke dalam notasi matriks sebagai berikut: , dimana semua perhitungan dilakukan di dalam . Tetapi metode ini dapat diperluas menjadi sembarang ukuran blok. Untuk bentuk yang lebih umum akan digunakan matriks yang berukuran sebagai matriks kunci yang akan digunakan. Untuk dan , proses enkripsi dihitung dengan , dimana . Dengan kata lain, dapat ditulis sebagai . Dimulai dengan matriks kunci yang berukuran , yang anggota- anggotanya adalah elemen dari . Matriks ini akan berperan sebagai kunci dalam sandi ini dan tidak boleh jatuh ke tangan musuh atau sandi ini akan dengan mudah dipecahkan. Misalkan matriks tersebut yaitu: . Jika Alice yang berperan sebagai pengirim pesan ingin mengirim pesan “ ” kepada Boby, maka pertama-tama Alice harus mengubah pesan tersebut menjadi blok-blok yang terdiri dari dua huruf. Sehingga diperoleh blok pertama adalah “ ” dan blok kedua adalah “ ”. Kemudian, dia mengubah setiap blok tersebut menjadi vektor dua dimensi dengan anggota- anggotanya di dalam . Setiap huruf diubah ke dalam bilangan-bilangan menurut Tabel 3.1. Vektor ke- dari teks-asal dinyatakan dengan . Oleh karena itu, vektor yang mewakili adalah dan vektor yang mewakili adalah . Untuk menghasilkan teks-sandi atau melakukan proses enkripsi dengan melakukan perhitungan berikut untuk setiap . Setelah itu vektor-vektor tersebut diubah kembali ke dalam huruf-huruf. Sebagai contoh, , . Angka mewakili huruf , mewakili , dan mewakili , sehingga dihasilkan teks-sandi yaitu . Ingat bahwa metode ini mengganti blok yang terdiri dari dua huruf dengan blok yang terdiri dari dua huruf seperti yang diinginkan diawal, dan keuntungannya yaitu tidak perlu mengingat kemungkinan tersebut. Alice dan Boby cukup mengetahui matriks . Selain proses enkripsi juga harus dipertimbangkan cara untuk proses dekripsinya yaitu: bagaimana cara Boby memperoleh teks-asal berdasarkan teks –sandi yang diberikan? Pembaca yang sudah mempelajari Aljabar Linear akan mengetahui bahwa dapat digunakan matriks invers untuk proses dekripsinya. Dengan demikian, teks-sandi dapat didekripsi dengan menggunakan persamaan . Boby yang telah mengetahui matriks dan , dia ingin menemukan . Dengan kata lain, dia ingin mencari penyelesaian persamaan untuk semua . Andaikan dapat ditemukan suatu matriks dengan anggota-anggotanya dalam sedemikian sehingga , dimana semua perhitungan menggunakan modulo 26. Jika maka , sehingga . Permasalahannya adalah cara menentukan matriks tersebut. Perlu diingat bahwa di dalam Aljabar Linear: jika adalah matriks persegi dimana elemen-elemennya adalah bilangan real, maka terdapat matriks dimana elemen-elemen bilangan real sedemikian sehingga jika dan hanya jika determinan matriks bukan nol, di mana I merupakan matriks identitas Anton dan Busby, 2003 : 188. Tetapi hal ini harus teliti, perhitungan yang digunakan dalam aljabar linear yang standar tidak sama dengan yang digunakan pada bagian ini. Hal ini dikarenakan semua perhitungan disini dilakukan dengan modulo 26. Tetapi, apakah hal ini memberikan perbedaan? Perhatikan contoh berikut: Contoh 3.8 Andaikan . Maka determinan dari adalah . Tetapi, jika terdapat matriks sedemikian sehingga , dimana semua perhitungan berdasarkan modulo 26, maka akan diperoleh Jadi, Dimana perhitungannya di dalam , Sehingga dengan menyelesaikan persamaan diperoleh dan substitusikan hasil tersebut ke dalam persamaan , sehingga diperoleh . Tetapi tidak terdapat elemen anggota yang memenuhi persamaan . Dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat matriks tersebut. Sekarang keluar ke masalah utama yang lain dari sifat matriks kunci di atas. Andaikan Alice menggunakan matriks dalam Contoh 3.7 untuk mengirim pesan yang telah dienkripsi kepada Boby. Jika suatu blok teks- asal adalah untuk menentukan teks-sandi yang bersesuaian, maka Alice harus menghitung diperoleh teks-sandi yang bersesuaian . Tetapi, andaikan bahwa teks-asal adalah . Dalam hal ini dia juga menghitung dihasilkan kembali teks-sandi yang bersesuaian adalah . Sehingga, jika Boby menerima sebagai satu blok, maka hal ini akan membingungkan Boby untuk mengetahui apakah teks-asalnya adalah atau . Oleh karena itu, dalam kasus ini matriks adalah kunci yang buruk untuk digunakan dalam proses enkripsi. Dengan Contoh 3.7 tersebut, harus dicari cara yang mudah untuk menentukan apakah suatu matriks kunci tertentu menjadi matriks yang baik untuk digunakan dalam proses enkripsi. Berdasarkan masalah-masalah yang telah dibahas sebelumnya dapat disimpulkan bahwa matriks kunci harus memenuhi sifat-sifat tertentu. Secara lebih rinci, matriks kunci harus mempunyai sifat bahwa terdapat matriks sedemikian sehingga . Matriks kunci K juga harus mempunyai sifat bahwa jika dan adalah vektor-vektor yang berbeda dengan elemen-elemen di , maka dan juga merupakan vektor- vektor yang berbeda. Teorema berikut mengatakan bahwa dua sifat ini adalah ekuivalen dan terdapat cara yang mudah untuk memeriksa apakah sifat tersebut berlaku atau tidak. Teorema 3.1 Untuk Sandi Hill dengan 26 huruf alfabet, ukuran blok 2, dan matriks kunci , pernyataan berikut adalah ekuivalen: 1. tidak dapat dibagi oleh 2 atau 13. 2. Terdapat matriks B berukuran dengan elemen-elemen di yang memenuhi . 3. Matriks K memenuhi sifat bahwa jika maka . Setiap perhitungan dilakukan di dalam . Bukti: Strategi untuk membuktikannya yaitu dengan menunjukkan bahwa pernyataan pertama mengakibatkan pernyataan kedua, pernyataan kedua mengkibatkan pernyataan ketiga, dan pernyataan ketiga mengakibatkan pernyataan pertama. Andaikan bahwa tidak dapat dibagi 2 atau 13. Maka menurut Teorema 2.8, terdapat sedemikian sehingga . Misalkan , maka . Ini berarti bahwa sifat kedua berlaku. Sekarang, andaikan bahwa sifat kedua berlaku dan akan ditunjukkan bahwa sifat kedua mengakibatkan sifat ketiga berlaku. Andaikan terdapat matriks sedemikian sehingga . Jika , maka , ini berarti bahwa sifat ketiga dari teorema tersebut berlaku. Untuk bagian terakhir pembuktian ini, diandaikan bahwa memenuhi sifat bahwa jika maka . Misalkan dapat dibagi oleh 2 maka akan muncul kontradiksi. Karena 2 membagi , berarti . Ingat semua perhitungan dilakukan dalam . Sehingga, dan . Selain itu juga diperoleh . Apabila memenuhi sifat ketiga pada teorema tersebut, berarti . Sehingga dan . Misalkan . Hal ini kontradiksi bahwa memenuhi sifat ketiga. Dengan cara yang sama, juga dapat diperoleh kontradiksi jika dapat dibagi dengan 13. Andaikan dapat dibagi oleh 13. Karena membagi , berarti . Dengan demikian dan . Selain itu juga diperoleh . Apabila memenuhi sifat ketiga pada teorema tersebut, berarti . Sehingga dan . Misalkan . Hal ini juga menyangkal bahwa memenuhi sifat ketiga. ∎ Dengan demikian Teorema 3.1 telah terbukti. Perhatikan apabila Teorema 3.1 di atas dapat diperumum. Bentuk umum dari teorema tersebut dinyatakan tanpa pembuktian. Teorema 3.2 Untuk Sandi Hill dengan alfabet yang terdiri dari huruf, ukuran blok , dan matriks kunci , dimana adalah matriks dengan elemen- elemen di . Pernyataan-pernyataan berikut adalah ekuivalen: 1. Determinan matriks K dan n adalah relative prima. 2. Terdapat suatu matriks B berukuran dengan elemen-elemen di memenuhi , dimana I marupakan matriks identitas berukuran . 3. Matriks K memenuhi sifat bahwa jika maka . Semua perhitungan dilakukan di . Teorema 3.1 sangat berguna. Oleh karena itu, Alice dan Boby dapat dengan mudah menguji bahwa matriks kunci K yang dipilih akan menjadi salah satu yang terbaik untuk mengenkripsi pesan. Mereka dapat dengan mudah menghitung dan memastikannya tidak dapat dibagi dengan 2 atau 13. Namun, pada prakteknya terdapat masalah, bagaimana Bob mengetahui teks-asal setelah menerima teks-sandi. Jawaban dari masalah ini berada pada Teorema 3.1 diilustrasikan dengan sebuah contoh. Ingat pada contoh diawal, dimana Alice dan Bob menggunakan matriks sebagai matriks kunci dan teks-asalnya adalah “ ”. Seperti yang telah ditunjukkan diawal, teks-sandinya adalah . Andaikan bahwa Boby menerima pesan dan tidak mengetahui pesan yang asli yang dikirim Alice. Sekarang akan ditunjukkan bagaimana dia akan menemukan teks- asal. Pertama dia membuat vektor dan dengan mengubah setiap huruf ke dalam bilangan. Diperoleh, dan . Ingat bahwa Boby berusaha untuk menghasilkan dan dan dia tahu bahwa dan . Seperti yang telah dibicarakan sebelumnya, Boby ingin memperoleh matrks sedemikian sehingga . Perhatikan Teorema 3.1, sebenarnya matriks yang demikian dapat diperoleh. Jika maka , dimana memenuhi . Di dalam masalah ini, , dan . Sehingga dan , maka dapat diperoleh nilai . Karena , berarti . Kemudian, . Jadi, dan . Kemudian diubah kembali bilangan-bilangan tersebut ke dalam huruf-huruf, sehingga Boby menghasilkan teks-asal yang dikirim Alice, yaitu “ ”. Seperti yang telah dinyatakan di atas, proses enkripsi dalam sandi Hill dilakukan dengan mengalikan matriks kunci dengan teks-asal. Sedangkan untuk proses dekripsi dilakukan dengan mengalikan matriks invers . Definisi berikut memberikan gambaran matematis mengenai Sandi Hill terhadap . Definisi 3.7 Sandi Hill Misalkan adalah bilangan bulat. Misalkan dan {matriks invertibel berukuran dengan elemen-elemen di dalam Untuk kunci , didefinisikan dan dimana , , dan semua operasi dilakukan di dalam . Contoh 3.9: Andaikan bahwa telah dienkripsi dengan menggunakan Sandi Hill dengan kunci . Pembagian blok-blok huruf menjadi: Untuk menentukan teks-asal, terlebih dahulu menghitung : Diperoleh . Kemudian dekripsi setiap blok teks-sandi menggunakan matriks kunci . . . . . . Dengan menggunakan Tabel 3.1 akan dihasilkan huruf-huruf yang bersesuaian untuk setiap blok. Sehingga diperoleh teks-asal yaitu: . Pada blok terdapat huruf yang lebih yaitu . Huruf ini dapat dianggap sebagai huruf semu, jadi huruf tersebut dapat dihilangkan.

F. SANDI PLAYFAIR