Faktor Persekutuan Terbesar TEORI PEMBAGIAN

. ∎ Contoh 2.3 Untuk dan , berlaku: dan untuk dan , berlaku: .

3. Faktor Persekutuan Terbesar

Definisi 2.2 Faktor Persekutuan Suatu bilangan bulat disebut faktor persekutuan dari bilangan bulat a dan b jika d membagi a dan b, yaitu: jika dan . Karena adalah pembagi setiap bilangan bulat, maka adalah faktor persekutuan dari dan . Oleh karena itu, himpunan faktor persekutuan yang positif adalah tak-kosong. Setiap bilangan bulat membagi nol, karena itu jika , maka setiap bilangan bulat merupakan faktor persekutuan dan . Dalam hal ini, himpunan faktor persekutuan yang positif dari adalah tak-berhingga. Tetapi, apabila setidaknya salah satu dari atau yang tidak sama dengan nol, maka terdapat berhingga banyak faktor persekutuan yang positif. Diantaranya, terdapat satu yang terbesar,yang disebut faktor persekutuan terbesar dari dan . Definisi 2.3 Faktor Persekutuan Terbesar Jika a dan b adalah bilangan bulat yang keduanya tak-nol, maka faktor persekutuan terbesar d dari a dan b adalah faktor persekutuan yang paling besar dari a dan b. Faktor persekutuan terbesar dari a dan b ditulis sebagai: . Apabila , maka a dan b dikatakan relatif prima. Contoh 2.4 Hitunglah Perhatikan pembagi 24 yaitu: , dan pembagi 32 yaitu: . Dengan demikian, faktor persekutuan dari 24 dan 32 yaitu: . Berdasarkan faktor persekutuan di atas, didapat faktor persekutuan yang terbesar dari 24 dan 32 yaitu 8. Jadi, . Teorema berikut akan menunjukkan bahwa dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dan . Teorema 2.3 FPB merupakan Kombinasi Linear Jika dan adalah bilangan bulat yang keduanya bukan nol, maka terdapat bilangan bulat dan sedemikian sehingga . Bukti: Misalkan himpunan merupakan semua kombinasi linear positif dari dan : { merupakan bilangan bulat . Akan ditunjukkan bahwa tak-kosong. Jika , maka , dimana ; jika , maka , dimana . Menurut Well-Ordering Principle, mempunyai elemen terkecil, misal . Dengan demikian, berdasarkan definisi , terdapat bilangan bulat dan sedemikian sehingga dapat dinyatakan bahwa . Dengan Algoritma Pembagian, dapat diperoleh bilangan bulat dan sedemikian sehingga , dimana . Kemudian dapat ditulis ke dalam bentuk . Jika adalah positif, maka merupakan anggota . Muncul kontradiksi, padahal elemen terkecil dari ingat kembali bahwa . Oleh karena itu, , sehingga atau dengan kata lain . Untuk membuat sebagai faktor persekutuan dari dan , maka masih harus dibuktikan . Misal, terdapat bilangan bulat dan sedemikian sehingga , dimana . Kemudian dapat ditulis ke dalam bentuk . Jika , maka merupakan anggota . Muncul kontradiksi, padahal elemen terkecil dari ingat kembali bahwa . Oleh karena itu, , sehingga atau dengan kata lain . Jika adalah sembarang faktor persekutuan positif dari bilangan bulat dan , maka dengan menggunakan sifat dalam Teorema 2.1 dapat disimpulkan bahwa , dengan kata lain . Dengan sifat dalam Teorema 2.1, didapat | | | | , oleh karena itu lebih besar dari setiap faktor persekutuan positif dari dan . Dengan demikian, . ∎ Teorema berikut ini memperkenalkan hubungan antara bilangan bulat yang relatif prima di dalam bentuk kombinasi linear. Teoreme 2.4 Relatif Prima Misalkan , keduanya tidak nol. Maka dan relatif prima jika dan hanya jika terdapat sedemikian sehingga . Bukti: Misal dan relatif prima, berarti . Maka Teorema 2.3 menjamin bahwa terdapat yang memenuhi . Misalkan untuk sembarang , dan . Ini berarti dan . Menurut sifat dalam Teorema 2.2, maka . Menurut Sifat dalam Teorema 2.1, berarti atau . Karena , maka diperoleh . Dengan demikian, disimpulkan bahwa dan relatif prima. ∎

4. Persamaan Diophantine