Definisi-definisi Algoritma Pembagian TEORI PEMBAGIAN

11 BAB II TEORI PEMBAGIAN, TEORI KEKONGRUENAN, MATRIKS, DAN FUNGSI

A. TEORI PEMBAGIAN

1. Definisi-definisi

Salah satu sifat penting dari bilangan asli adalah Well Ordering Principle Sifat Terurut secara Baik. Karena sifat ini tidak dapat dibuktikan dari sifat –sifat aritmetika biasa, maka akan diterima sebagai sebuah aksioma yaitu: setiap himpunan bilangan asli yang tak-kosong mempunyai elemen terkecil. Pernyataan di atas bila disimbolkan adalah sebagai berikut: Jika dan , maka terdapat sedemikian sehingga untuk setiap . Definisi 2.1 Membagi Pembagi Misalkan dengan . Maka b membagi a, ditulis , jika terdapat sedemikian sehingga . Jika tidak membagi , ditulis dengan . Terdapat beberapa cara untuk menyatakan , yaitu pembagi , faktor dari , atau kelipatan . Contoh 2.1  karena  5 | 15 karena Contoh 2.2 Bilangan bulat 200 mempunyai beberapa pembagi berikut: Oleh karena itu, sebagai contoh, dapat ditulis , , , , . Berikut ini akan ditunjukkan beberapa sifat dasar pembagi. Teorema 2.1 Sifat-sifat Membagi Misalkan , berlaku: , , dan . jika dan hanya jika . Jika dan , maka | | | |. Jika dan , maka untuk setiap . Bukti: Sifat : karena , karena , karena . Sifat : dapat ditulis sebagai , dimana . , atau , Sifat : jika , maka terdapat sedemikian sehingga . Karena mengakibatkan . Bila kedua ruas diambil nilai mutlaknya, diperoleh: | | | | | || |. Karena berarti | | sehingga | | | || | | |. Sifat : bila dan maka dan , untuk suatu . Dengan demikian: . Karena , dapat dikatakan bahwa .∎

2. Algoritma Pembagian

Teorema berikut, yaitu Teorema Pembagian, akan berperan sebagai batu pondasi untuk pembahasan-pembahasan yang selanjutnya. Secara garis besar, teorema tersebut menegaskan bahwa suatu bilangan bulat dapat “dibagi” dengan bilangan bulat positif dengan sedemikian cara bahwa sisanya lebih kecil dari . Pernyataan yang lebih rinci untuk teorema tersebut ada pada Teorema 2.2 berikut. Teorema 2.2 Algoritma Pembagian Jika dan , maka terdapat dengan tunggal bilangan bulat dan sedemikian sehingga dimana . Bilangan bulat disebut hasil bagi dalam membagi dengan ; bulangan bulat disebut sisa dalam membagi dangan . Bukti: Terdapat dua bagian untuk membuktikannya, yang pertama adalah eksistensi dan yang kedua adalah ketunggalan. Perhatikan himpunan { | merupakan suatu bilangan bulat dan . Jika , maka untuk suatu bilangan bulat . b membagi a Hasil yang diinginkan dapat diperoleh dengan dan . Asumsikan . Karena tak-kosong, [Jika maka ; jika maka ; karena ] maka dapat diterapkan Well Ordering Principle untuk menyimpulkan bahwa S mempunyai anggota terkecil, sebut . Berarti terdapat bilangan bulat sehingga . Maka dan . Akan dibuktikan bahwa sisa . Andaikan , maka berarti . Tetapi , berarti bukan yang terkecil, sedangkan merupakan anggota terkecil dari . Muncul kontradiksi. Jadi, . Untuk membuktikan ketunggalan dari dan , dimisalkan bahwa terdapat bilangan bulat dan sedemikian sehingga , dan , Karena , salah satu lebih besar atau sama dengan yang lainnya, misal . Dari persamaan diperoleh , sedangkan dari persamaan diperoleh . Dengan mengurangkan keduanya maka dihasilkan: . Di sisi lain, dan kurang dari . Sebelumnya juga telah dimisalkan bahwa , maka . Dengan demikian, Tetapi, merupakan bilangan bulat, jadi ketidaksamaan ini berlaku jika dan hanya jika . Dengan kata lain, . Sehingga mengakibatkan . ∎ Contoh 2.3 Untuk dan , berlaku: dan untuk dan , berlaku: .

3. Faktor Persekutuan Terbesar