Contoh 2.9 Bilangan bulat
mempunyai invers perkalian modulo 26 karena dan relatif prima. Invers perkalian tersebut dapat diperoleh dengan
menemukan yang memenuhi kekongruenan
. Kekongruenan ini dapat diselesaikan dengan mencoba penyelesaian-
penyelesaian yang mungkin, yaitu . Dengan cara ini akan
diperoleh sebagai penyelesaian dari kekongruenan tersebut, karena
Dengan demikian, .
2. Kekongruenan Linear
Suatu persamaan yang berbentuk disebut sebagai
kekongruenan linear, dan penyelesaian untuk pesamaan tersebut adalah suatu bilangan bulat
sedemikian sehingga . Dengan
menggunakan Definisi 2.4, jika dan hanya jika
. Untuk elemen-elemen dari
yang manakah sehingga kekongruenan
berlaku? Dapat dianggap bahwa kekongruenan linear jenis ini harus mempunyai satu penyelesaian, tetapi dengan memeriksa sembilan elemen
dari dapat diperoleh bahwa terdapat tiga penyelesaian; yaitu
dan . Hal ini karena , , dan . Dengan demikian, telah ditunjukkan bahwa
kekongruenan tersebut mempunyai tiga penyelesaian: ,
dan . Beberapa kekongruenan linear tidak mempunyai penyelesaian.
Sebagai contoh,
tidak mempunyai
penyelesaian. Andaikan
merupakan penyelesaiannya, maka dapat terdapat bilangan bulat
sedemikian sehingga
. Dapat dilihat, ruas kiri dapat dibagi dengan 3 sedangkan ruas kanan tidak
dapat dibagi dengan 3, dengan demikian diperoleh kontradiksi. Kapan suatu kekongruenan dari bentuk
mempunyai penyelesaian di dalam ? Berdasarkan contoh di atas, dapat
dilihat bahwa diperlukan syarat mempunyai penyelesaian, yaitu semua faktor persekutuan dari
dan harus membagi .
Teorema 2.9 Kekongruenan Linear
Kekongruenan linear mempunyai penyelesaian
jika dan hanya jika , dimana
Bukti:
Kekongruenan dapat ditulis ke dalam bentuk
. Kekongruenan tersebut mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika
terdapat sedemikian sehingga .
Pada pembahasan yang sebelumnya telah dipelajari mengenai Persamaan Diophantine, dapat dikatakan bahwa persamaan
ekuivalen dengan persamaan linear Diophantine, yaitu:
. Dengan kata lain, kekongruenan tersebut mempunyai penyelesaian jika
dan hanya jika persamaan linear Diophantine mempunyai
penyelesaian. Menurut Teorema 2.5, dapat disimpulkan bahwa kekongruenan tersebut
mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika , dimana
. ∎
Akibat 2.10
Kekongruenan linear mempunyai penyelesaian tunggal
jika dan hanya jika .
Bukti:
Menurut Teorema 2.9, kekongruenan linear mempunyai
penyelesaian jika dan hanya jika
. Karena
dan menurut Teorema 2.8, berarti kekongruenan linear mempunyai penyelesaian
. Untuk menunjukkan ketunggalan dari penyelesaian
tersebut, dimisalkan terdapat
dan .
Menurut Teorema 2.7 ,
dapat ditulis sebagai dan menurut Teorema 2.7 maka
. Dengan menggunakan Teorema 2.7
, kekongruenan di atas berlaku apabila
. ∎
C. MATRIKS
