Aritmetika Modulo untuk Matriks

6. Aritmetika Modulo untuk Matriks

Tujuan selanjutnya adalah menggeneralisasi perhitungan modular terhadap matriks. Sebuah matriks yang diambil dari elemen-elemen bilangan bulat adalah mudah, cukup mengambil untuk masing-masing elemen. Sebagai contoh, . Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian sama mudah. Pertama lakukan penjumlahan, pengurangan, atau perkalian seperti biasanya dan ambil hasil tersebut , yaitu ambil setiap elemen . Contoh 2.16: Misal dan . Tentukan , , dan . . . Bekerja dengan matriks menggunakan aritmetika modulo dapat menjadi menantang. Hal ini dikarenakan perhitungan yang dilakukan tidak sama saat bekerja pada lapangan seperti . Sebelum bekerja pada modulo matriks, perlu diingat notasi-notasi dasar dan teori di dalam aritmetika modulo. Definisi 2.10 Kekongruenan Matriks Andaikan dan adalah matriks. Maka merupakan matriks yang diperoleh dengan mengurangi mereduksi setiap elemen matriks dengan . Matriks dan disebut kongruen jika elemen-elemen yang bersesuaian dari mariks dan kongruen. Matriks kongruen dengan matriks ditulis dengan . Perlu diingat, modulo memenuhi semua sifat lapangan, kecuali satu yaitu tidak semua bilangan mempunyai invers perkalian. Misalkan diberikan , belum tentu terdapat yang memenuhi . Hal pertama yang dapat diamati tentang adalah bahwa penjumlahan matriks, perkalian matriks, dan determinan matriks akan bekerja pada seperti halnya pada . Operasi-operasi matriks ini didefinisikan dalam istilah-istilah penjumlahan skalar dan perkalian elemen-elemen matriks. Semua operasi-operasi terhadap modulo ini dapat ditunjukkan seperti halnya pada lapangan. Contoh berikut memberikan penjelasan perkalian matriks di , yang akan menjadi ide dasar dari Sandi Hill pada BAB III. Contoh 2.17: Misalkan matriks dan . Maka [ ] . Seperti yang telah dikatakan sebelumnya, tidak semua bilangan mempunyai invers perkalian. Ini merupakan perbedaan penting untuk mendekripsi pesan yang terenkripsi menggunakan Sandi Hill, diperlukan untuk menemukan invers dari matriks kunci. Jika ingin menghitung invers matriks, baik itu dengan reduksi baris atau ekspansi kofaktor, maka diperlukan invers perkalian bilangan-bilangan. Namun, dengan menggunakan Teorema 2.8 dapat membantu dalam menentukan invers perkalian di dalam modulo. Berdasarkan teorema tersebut, dapat dilihat jika adalah bilangan prima, maka setiap bilangan taknol di dalam mempunyai invers perkalian dan oleh karena itu adalah lapangan. Tetapi, bila bukan bilangan prima, maka tidak semua anggota mempunyai invers. Sebagai contoh, di dalam hanya yang relatif prima terhadap , dan invers-inversnya adalah: , , , , , , dan . Sekarang setelah mengetahui invers bilangan, maka dapat melanjutkan ke invers matriks. Definisi 2.11 Invers Misal merupakan matriks dengan elemen-elemen di . Matriks disebut invers kiri dari matriks jika dan matriks disebut invers kanan dari matriks jika , dimana semua operasi dilakukan di dalam modulo . Secara ekuivalensi dapat ditulis dengan atau . Matriks disebut invers dari matriks jika merupakan invers kiri dan invers kanan dari matriks . Contoh 2.18: Misal matriks yang elemen-elemennya anggota , maka adalah invers . Dapat diuji dengan melihat hasil kali kedua matriks dari kiri maupun kanan akan menghasilkan matriks identitas, dimana setiap perhitungan menggunakan modulo 26. . . Teorema 2.14 Syarat untuk Invers pada Modulo Suatu matriks persegi adalah invertibel pada jika dan hanya jika determinan matriks mempunyai invers di dalam . Jika matriks adalah invertibel, maka matriks tunggal dalam modulo. Jika matriks mempunyai invers kiri atau invers kanan, maka matriks invers kiri maupun inver kanan tersebut adalah inversnya. Bukti: Andaikan matriks adalah invertibel. Maka dan jadi determinan mempunyai invers perkalian. Sebaliknya, jika determinan mempunyai invers perkalian, maka rumus kofaktor untuk invers akan menghasilkan tanpa menggunakan sembarang invers perkalian selain invers determinan. Kita belum membuktikan bahwa invers kanan dalam modulo juga merupakan invers kiri , jadi kita harus memeriksa bahwa matriks invers yang diberikan dalam metode ini adalah invers kanan dan kiri . Rumus kofaktor untuk determinan dan invers dari matriks berukuran akan digunakan seperti yang dinyatakan dan dibuktikan Treil, 2009 dengan sedikit perubahan notasi. Misal merupakan elemen matriks pada baris ke- dan kolom ke- . Misal merupakan matriks yang dibentuk dengan menghilangkan baris dan kolom dari matriks . Misal . Untuk setiap baris pada matriks , ∑ Untuk setiap kolom , ∑ Misal adalah matriks yang dibentuk dengan meletakkan kofaktor dari matriks pada baris dan kolom . Maka Untuk menunjukkan bahwa ini merupakan invers kiri dengan menghitung . Elemen matriks adalah ∑ Elemen matriks , dimana adalah ∑ yang mana determinan tersebut untuk matriks seperti dimana kolom diganti dengan kolom . Matriks ini mempunyai dua kolom yang sama, sehingga determinannya nol. Dengan demikian, semua elemen bukan diagonal utama dari adalah nol dan semua elemen diagonal utama adalah . Sehingga . berarti merupakan invers kiri dari matriks . Bukti untuk invers kanan mirip, dan telah diberikan oleh Treil 2009. Ini berarti bahwa matriks yang determinannya mempunyai inverse perkalian modulo mempunyai invers modulo . Misal merupakan invers kofaktor . Setiap invers kiri dan setiap invers kanan dari matriks akan buktikan sama dengan . Andaikan matriks merupakan invers kiri dari matriks . Maka, dengan menggunakan operasi pada modulo , dan . Dengan demikian, matriks . Andaikan merupakan invers kanan dari matriks . Maka dan , berarti . Hal ini membuktikan bahwa invers dari matriks terhadap modulo adalah tunggal. Dengan demikian, setiap invers kiri atau invers kanan adalah invers, karena sama dengan yang merupakan invers. ∎

D. FUNGSI