Kuantitas
dalam teorema di atas disebut determinan matriks
berukuran dan dinotasikan dengan
.
Dengan istilah determinan, Teorema diatas mengatakan bahwa matriks berukuran invertibel jika dan hanya jika .
Contoh 2.11:
Tentukan invers matriks .
Karena , maka invertibel dan
3. Determinan secara Umum
Sebelumnya telah diungkit mengenai determinan matriks berukuran yaitu . Untuk memperluas definisi terhadap
matriks dengan orde yang lebih tinggi, akan bermanfaat dengan menggunakan penulisan elemen-elemen
, dimana menjadi |
| . . . .
Ini disebut determinan
. Determinan matriks berukuran ,
juga disebut determinan
, didefinisikan dengan rumus
| |
. . . . Untuk memperluas definisi determinan terhadap matriks
akan bermanfaat dengan memeriksa struktur Rumus dan .
Determinan dari kedua rumus tersebut merupakan penjumlahan dari hasil kali, masing-masing mempunyai tepat satu elemen dari setiap baris dan
satu elemen dari setiap kolom dari matriks tersebut. Oleh karena itu,
didefinisikan suatu hasil kali elementer dari matriks
berorde sebagai hasil kali
elemen dari matriks , dimana tidak ada yang berasal dari dua baris atau kolom yang sama. Dengan demikian, jika
[ ],
maka setiap hasil kali elementer dinyatakan dalam bentuk . . . .
dimana indeks kolom membentuk permutasi bilangan bulat {
dari sampai dan indeks baris dalam urutan asli.
Hasil kali elementer yang dihubungkan dengan tanda atau –
disebut hasil kali elementer bertanda. Tanda yang mendahului hasil kali
elementer berhubungan dengan permutasi dari indeks kolom. Lebih tepatnya, tanda untuk setiap hasil kali elementer dapat ditentukan dengan
menghitung jumlah minimum pertukaran the minimum number of interchanges dalam permutasi dari indeks kolom yang diperlukan untuk
menempatkan indeks-indeks tersebut menjadi urutan aslinya: tanda jika jumlahnya genap dan tanda
– jika jumlahnya ganjil. Sebagai contoh, dalam Rumus
:
untuk determinan , hasil kali elementer
menggunakan tanda tambah karena permutasi
{ dari indeks kolomnya telah sesuai dengan urutan asli sehingga jumlah minimum pertukaran yang diperlukan untuk
menempatkan indeks tersebut dalam urutan asli adalah , yang adalah
bilangan bulat genap. Dengan cara yang sama, hasil kali elementer menggunakan tanda kurang karena permutasi
{ dari indeks kolom memerlukan
pertukaran untuk menempatkan mereka dalam urutan asli.
Definisi 2.7: Determinan
Determinan suatu matriks persegi
dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai penjumlahan semua hasil kali elementer bertanda
dari matriks .
Determinan matriks juga dapat ditulis dalam notasi palang tegak
| | | |.
Kita akan sebut ini determinan atau determinan orde ke- . Ketika
tidak menyusahkan, Definisi 2.7 dapat dinyatakan dalam notasi ∑
. . . . dimana
∑ dan bermaksud untuk mengusulkan bahwa hasil kali elementer bertanda dijumlahkan terhadap semua kemungkinan permutasi
{ darik indeks kolom.
4. Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor
