Kita akan sebut ini determinan atau determinan orde ke- . Ketika
tidak menyusahkan, Definisi 2.7 dapat dinyatakan dalam notasi ∑
. . . . dimana
∑ dan bermaksud untuk mengusulkan bahwa hasil kali elementer bertanda dijumlahkan terhadap semua kemungkinan permutasi
{ darik indeks kolom.
4. Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor
Akan dikembangkan cara untuk menghitung determinan yang berdasarkan determinan dengan orde yang lebih rendah.
Definisi 2.8 Minor dan Kofaktor
Jika
adalah matriks persegi, maka minor dari elemen
juga disebut minor ke-
dari dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai
determinan submatriks ketika baris ke- dan kolom ke- dari dihapus.
Bilangan disebut kofaktor dari elemen
atau kofaktor ke-
dari .
Contoh 2.12:
Misal .
Minor dari elemen adalah
| |
dan kofaktor yang bersesuaian adalah .
Minor dari elemen adalah
| |
dan kofaktor yang bersesuaian adalah .
Akan ditunjukkan bagaimana determinan dapat dinyatakan dalam
bentuk determinan . Ingat bahwa determinan dari matriks
didefinisikan sebagai
. . . . yang dapat ditulis sebagai
Tetapi, pernyataan dalam tanda kurung adalah kofaktor ,
, dan ,
sehingga dapat ditunjukkan bahwa .
Dalam kata-kata, rumus ini menyatakan bahwa dapat diperoleh
dengan mengalikan setiap elemen pada kolom pertama matriks dengan
kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang dihasilkan. Tidak ada yang spesial tentang kolom pertama, dengan mengelompokkan suku-
suku dalam Rumus , dapat ditunjukkan bahwa terdapat enam rumus:
. . . .
Ini disebut ekspansi kofaktor dari
. Sebagai catatan bahwa dalam setiap ekspansi kofaktor, elemen dan kofaktor berasal baris yang sama atau
kolom yang sama..
Contoh 2.13: Tentukan determinan matriks
berikut dengan ekspansi kofaktor pada kolom pertama:
| | |
| |
| | |
.
Ekspansi kofaktor untuk determinan matriks merupakan
kasus khusus dari teorema berikut, yang dinyatakan tanpa bukti.
Teorema 2.12 Ekspansi Kofaktor
Determinan matriks berukuran dapat dihitung dengan
mengalikan elemen-elemen di sembarang baris atau kolom dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang dihasilkan; yaitu untuk
setiap dan ,
ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-
dan
ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-
5. Rumus untuk
Pada bagian ini akan digunakan deteminan dalam menghasilkan rumus untuk invers suatu matriks. Dalam ekspansi kofaktor,
dihitung dengan mengalikan elemen-elemen di sembarang baris atau kolom
dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali.
Definisi 2.9 Matriks Kofaktor
Jika adalah matriks dan
adalah kofaktor dari , maka
matriks
disebut matriks kofaktor dari
. Transpose dari matriks ini disebut
adjoint dari
dan dinotasikan dengan .
Contoh 2.14:
Kofaktor dari matriks adalah
Jadi matriks kofaktor dan adjoint secara berturut-turut adalah
dan .
Sekarang saatnya untuk menurunkan rumus untuk invers matriks invertibel.
Teorema 2.13 Matriks Invers
Jika adalah matriks invertibel, maka
. . . .
Bukti:
Pertama akan ditunjukkan bahwa . Untuk tujuan ini,
andaikan hasilkali
Dapat dilihat bahwa elemen pada baris ke- dan kolom ke- dari hasil kali
ini adalah .
Dalam kasus dimana , elemen dan kofaktor dari baris yang sama
dari , jadi merupakan ekspansi kofaktor dari sepanjang baris
tersebut. Dalam kasus dimana , elemen dan kofaktor dari baris yang
berbeda, jadi penjumlahannya adalah nol menurut Teorema 4.3.1 Anton dan Busby, 2003 : 196. Dengan demikian,
.
Karena invertibel, ini berarti bahwa , jadi persamaan ini
dapat ditulis kembali sebagai
[ ]
yang mana Rumus sekarang berlaku.
∎
Contoh 2.15: Gunakan Rumus
untuk menentukan invers matriks dalam contoh sebelumnya.
| | |
| .
6. Aritmetika Modulo untuk Matriks
