Hampiran Beda Maju Hampiran Beda Mundur Hampiran Beda Pusat Hampiran Beda Maju Hampiran Beda Mundur

Tiga Hampiran dalam Menghitung Turunan Numerik Turunan adalah limit dari hasil bagi pengurangan dua buah nilai yang besar + ∆ − dan membaginya dengan bilangan yang kecil ∆ . Misal diberikan nilai-nilai di − ∆ , , dan + ∆ , serta nilai fungsi untuk nilai- nilai tersebut. Titik-titik yang diperoleh adalah − , − , , , dan , , yang dalam hal ini − = − ∆ dan = + ∆ . Terdapat tiga hampiran dalam menghitung nilai ′ :

1. Hampiran Beda Maju

Diketahui fungsi = . Akan ditunjukkan ′ dengan hampiran beda maju. ′ = lim ∆ → + ∆ − ∆ ≈ + ∆ − ∆ = − ∆ .

2. Hampiran Beda Mundur

Diketahui fungsi = . Akan ditunjukkan ′ dengan hampiran beda mundur. ′ = lim ∆ → − − ∆ ∆ ≈ − − ∆ ∆ = − ∆ . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

3. Hampiran Beda Pusat

Diketahui fungsi = . Akan ditunjukkan ′ dengan hampiran beda pusat. ′ = lim ∆ → + ∆ − − ∆ ∆ ≈ + ∆ − − ∆ ∆ = − − ∆ . Tafsiran geometri dari ketiga pendekatan di atas diperlihatkan pada Gambar 2.3. Gambar 2.3: Tiga pendekatan dalam perhitungan numeris; a Hampiran beda maju, b Hampiran beda mundur, dan c Hampiran beda pusat. − ∆ = − − ∆ = − ∆ = − Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor Misalkan diberikan titik-titik , , � = , , , , … , , yang dalam hal ini = + �∆ dan = . Selanjutnya akan dihitung ′ yang dalam hal ini = + ∆ , ∈ dengan ketiga pendekatan yang disebutkan di atas maju, mundur, pusat.

1. Hampiran Beda Maju

Uraikan + di sekitar : + = + + − ′ + + − ′′ + ⋯ dengan mensubtitusikan + − = ∆ dan penulisan + dapat ditulis + diperoleh + = + ∆ ′ + ∆ ′′ + ⋯ 2.13 atau dapat ditulis ∆ ′ = + − − ∆ ′′ − ⋯ kedua ruas dibagi dengan ∆ sehingga diperoleh ′ = + − ∆ − ∆ ′′ − ⋯ karena ∆ ′′ − ⋯ merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu mempengaruhi nilai ′ sehingga dapat ditulis PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ′ = + − ∆ + ∆ yang dalam hal ini, ∆ = ∆ ′′ , + . Untuk nilai-nilai di dan persamaan rumusnya menjadi: ′ = − ∆ + ∆ . Dalam hal ini ∆ = ∆ ′′ , + menyatakan penurunan numeris secara beda maju memiliki tingkat keakuratan tingkat satu atau ditulis ∆ .

2. Hampiran Beda Mundur

Uraikan − di sekitar : − = + + − ′ + + − ′′ + ⋯ dengan mensubtitusikan + − = ∆ dan penulisan − dapat ditulis − diperoleh − = − ∆ ′ + ∆ ′′ − ⋯ 2.14 atau dapat ditulis ∆ ′ = − − + ∆ ′′ − ⋯ kedua ruas dibagi dengan ∆ sehingga diperoleh ′ = − − ∆ − ∆ ′′ + ⋯ karena ∆ ′′ − ⋯ merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu mempengaruhi nilai ′ sehingga dapat ditulis PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ′ = − − ∆ + ∆ yang dalam hal ini, ∆ = − ∆ ′′ , − . Untuk nilai-nilai di dan − persamaan rumusnya menjadi: ′ = − − ∆ + ∆ Dalam hal ini ∆ = − ∆ ′′ , + menyatakan penurunan numeris secara beda mundur memiliki tingkat keakuratan tingkat satu atau ditulis ∆ .

3. Hampiran Beda Pusat