Tiga Hampiran dalam Menghitung Turunan Numerik
Turunan adalah limit dari hasil bagi pengurangan dua buah nilai yang besar + ∆ −
dan membaginya dengan bilangan yang kecil ∆ . Misal
diberikan nilai-nilai di − ∆ , , dan + ∆ , serta nilai fungsi untuk nilai-
nilai tersebut. Titik-titik yang diperoleh adalah
−
,
−
, ,
, dan ,
, yang dalam hal ini
−
= − ∆ dan
= + ∆ . Terdapat tiga
hampiran dalam menghitung nilai
′
:
1. Hampiran Beda Maju
Diketahui fungsi =
. Akan ditunjukkan
′
dengan hampiran beda maju.
′
= lim
∆ →
+ ∆ − ∆
≈ + ∆ −
∆ =
− ∆
.
2. Hampiran Beda Mundur
Diketahui fungsi =
. Akan ditunjukkan
′
dengan hampiran beda
mundur.
′
= lim
∆ →
− − ∆
∆ ≈
− − ∆
∆ =
− ∆
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3. Hampiran Beda Pusat
Diketahui fungsi =
. Akan ditunjukkan
′
dengan hampiran beda
pusat.
′
= lim
∆ →
+ ∆ − − ∆
∆ ≈
+ ∆ − − ∆
∆ =
−
−
∆ .
Tafsiran geometri dari ketiga pendekatan di atas diperlihatkan pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3: Tiga pendekatan dalam perhitungan numeris; a Hampiran beda
maju, b Hampiran beda mundur, dan c Hampiran beda pusat.
−
∆
=
− −
∆
=
−
∆
=
−
Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor
Misalkan diberikan titik-titik , , � = , , , , … , , yang dalam hal ini
= + �∆
dan =
. Selanjutnya akan dihitung
′
yang dalam hal ini =
+ ∆ , ∈ dengan ketiga pendekatan yang disebutkan di atas maju, mundur, pusat.
1. Hampiran Beda Maju
Uraikan
+
di sekitar :
+
= +
+
−
′
+
+
−
′′
+ ⋯ dengan mensubtitusikan
+
− = ∆ dan penulisan
+
dapat ditulis
+
diperoleh
+
= + ∆
′
+ ∆
′′
+ ⋯ 2.13
atau dapat ditulis ∆
′
=
+
− − ∆
′′
− ⋯ kedua ruas dibagi dengan
∆ sehingga diperoleh
′
=
+
− ∆
− ∆
′′
− ⋯ karena
∆ ′′
− ⋯ merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu mempengaruhi nilai
′
sehingga dapat ditulis PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
′
=
+
− ∆
+ ∆ yang dalam hal ini,
∆ =
∆ ′′
,
+
. Untuk nilai-nilai di
dan persamaan rumusnya menjadi:
′
= −
∆ + ∆ .
Dalam hal ini ∆ =
∆ ′′
,
+
menyatakan penurunan numeris secara beda maju memiliki tingkat keakuratan tingkat satu atau ditulis
∆ .
2. Hampiran Beda Mundur
Uraikan
−
di sekitar :
−
= +
+
−
′
+
+
−
′′
+ ⋯ dengan mensubtitusikan
+
− = ∆ dan penulisan
−
dapat ditulis
−
diperoleh
−
= − ∆
′
+ ∆
′′
− ⋯ 2.14
atau dapat ditulis ∆
′
= −
−
+ ∆
′′
− ⋯ kedua ruas dibagi dengan
∆ sehingga diperoleh
′
= −
−
∆ −
∆
′′
+ ⋯ karena
∆ ′′
− ⋯ merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu mempengaruhi nilai
′
sehingga dapat ditulis PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
′
= −
−
∆ + ∆
yang dalam hal ini, ∆ = −
∆ ′′
,
−
. Untuk nilai-nilai di
dan
−
persamaan rumusnya menjadi:
′
= −
−
∆ + ∆
Dalam hal ini ∆ = −
∆ ′′
,
+
menyatakan penurunan numeris secara beda mundur memiliki tingkat keakuratan tingkat satu atau ditulis
∆ .
3. Hampiran Beda Pusat