Solusi Eksak Persamaan Gelombang Air Dangkal Penurunan Persamaan Gelombang Air Dangkal Satu Dimensi

28

BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG AIR

DANGKAL Dalam bab ini akan dijelaskan metode volume hingga, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling. Metode tersebut digunakan untuk menyelesaikan masalah bendungan air bobol, terkait dengan persamaan gelombang air dangkal.

A. Solusi Eksak Persamaan Gelombang Air Dangkal

Galat perhitungan pada penurunan numeris diperoleh dengan mengurangkan solusi numeris dengan solusi eksak. Berikut adalah solusi eksak yang akan digunakan dalam perhitungan simulasi numeris pada MATLAB: ℎ = { ℎ , jika − √ ℎ ℎ = √ ℎ − , jika − √ ℎ − √ ℎ ℎ = ℎ √ + �̇ ℎ − , jika − √ ℎ �̇ ℎ , jika �̇ dan = { , jika − √ ℎ = √ ℎ + , jika − √ ℎ − √ ℎ = �̇ − ℎ �̇ √ + �̇ ℎ , jika − √ ℎ �̇ , jika �̇ dengan ℎ adalah kedalaman air pada titik dan adalah kecepatan air pada titik . Notasi �̇ adalah konstanta kecepatan shock untuk , yaitu �̇ = √ ℎ + ℎ �̇ + √ + �̇ ℎ − [ ℎ √ + �̇ ℎ − ℎ ] . Solusi eksak ini diambil dari Thesis karangan Mungkasi dengan judul Finite Volume Methods for the One Dimensional Shallow Water Equations 2008.

B. Penurunan Persamaan Gelombang Air Dangkal Satu Dimensi

Persamaan gelombang air dangkal dideskripsikan dari gerak fluida. Ada dua jenis gerak fluida yang dideskripsikan, yaitu Langrangian dan Eulerian. Deskripsi Langrangian berpusat pada partikel individu, dan pergerakannya diamati sebagai fungsi dari waktu. Posisi, kecepatan dan percepatan setiap partikel dinotasikan dengan , , , , dan , , kemudian kuantitasnya misalnya massa, momentum dan energi dapat dihitung. Pada kasus ini merupakan titik awal atau penamaan partikel. Deskripsi Eulerian merupakan sebuah alternatif yang dapat diikuti setiap partikel fluida secara terpisah. Kemudian dilakukan pengamatan untuk kecepatan partikel yang melewati setiap titik identifikasi pada domain ruang yang diamati. Laju perubahan kecepatan ketika partikel melewati setiap titik dapat diamati dengan � , � , dan perubahan kecepatan terhadap waktu pada setiap titik tertentu dapat diamati oleh � , � . Dalam deskripsi Eulerian, sifat aliran seperti kecepatan merupakan fungsi dari ruang dan waktu. Persamaan air dangkal ini terdiri dari dua persamaan. Persamaan pertama diturunkan dari hukum konservasi massa dan persamaan kedua diturunkan dari hukum konservasi momentum. Berikut ini akan diuraikan penurunan persamaan gelombang air dangkal atau biasa disebut Shallow Water Wave Equations.

a. Hukum Kekekalan Massa

Hukum kekekalan massa berarti massa tersebut tidak dapat diciptakan atau dimusnahkan. Hal ini berarti massa total pada keseluruhan sistem sama setiap saat. Terdapat beberapa asumsi yang terlibat dalam penurunan persamaan hukum kekekalan massa. Pertama, aliran air diasumsikan tenang artinya tidak ada gangguan dari luar dan kecepatannya diabaikan. Kedua, densitas � air pada setiap titik adalah konstan sehingga air mampat. Selain itu diasumsikan bahwa tempat air kedap atau tertutup rapat karena massa adalah kekal. Oleh karena itu, massa pada setiap volume kontrol yaitu volume tertentu atau kolam air yang diamati hanya dapat berubah ketika aliran melintasi batas-batas volume kontrol. Secara umum, aliran air dapat diilustrasikan pada Gambar 1.1. Notasi yang digunakan yaitu menyatakan variabel jarak sepanjang aliran air, menyatakan variabel waktu, adalah topografi tanah, ℎ , adalah kedalaman air di titik dan pada waktu , , = + ℎ , adalah ketinggian air mutlak disebut PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI stage, dan , adalah kecepatan aliran air di titik dan pada waktu . Massa total pada air di setiap volume kontrol [ , ] ditentukan oleh = ∫ �ℎ , 3.1 Pernyataan ini dapat diperoleh sebagai berikut. Kepadatan massa terhadap kedalaman �̅ di sebarang titik , adalah �ℎ , yang dapat dihitung dengan mengintegralkan � dari ke , , yaitu �̅ , = ∫ � , = �ℎ , . Akibatnya, pengintegralan �ℎ , dari ke mengarah ke massa total di volume kontrol seperti yang dinyatakan dalam 3.1. Tingkatan aliran air yang melewati setiap titik , terhadap kedalaman air disebut flux massa , yaitu = �̅ , , 3.2 = �ℎ , , Dengan menggunakan 3.2 dan asumsi bahwa massa dapat berubah hanya karena aliran yang melewati batas volume kontrol, dapat ditentukan bahwa ∫ �ℎ , + ∆ = ∫ �ℎ , + ∫ �ℎ , , − +∆ ∫ �ℎ , , +∆ 3.3 berlaku untuk setiap volume kontrol. Hal ini berarti bahwa massa pada setiap langkah + ∆ adalah sama dengan massa pada waktu ditambah pergerakan flux PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI yang masuk dan dikurangi dengan flux yang keluar dari volume kontrol selama periode ∆ . Ilustrasi dari kontinuitas massa ditunjukkan pada Gambar 3.1. Gambar 3.1: Aliran air yang masuk dan keluar dari volume kontrol. Misalkan ∆ dan ∆ adalah kuantitas yang sangat kecil, yaitu ∆ = − . Dengan menggunakan perluasan Taylor, persamaan 3.3 dapat ditulis �ℎ , + ∆ ∆ = �ℎ , ∆ + �ℎ − ∆ , − ∆ , ∆ − �ℎ + ∆ , + ∆ , ∆ + ∆ + ∆ . Dengan mengabaikan bentuk ∆ dan ∆ persamaan terakhir di atas ekuivalen dengan �ℎ , + ∆ − �ℎ , ∆ = − �ℎ | +∆ , − �ℎ | −∆ , ∆ 3.4 Persamaan 3.4 dibagi dengan � kemudian ∆ dan ∆ diaproksimasikan menuju nol sehingga persamaan 3.4 menjadi ℎ + ℎ = . 3.5 Persamaan 3.5 disebut persamaan hukum kekekalan massa. ̅ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

b. Hukum Kekekalan Momentum

Hukum kedua Newton menyatakan bahwa perubahan momentum dari suatu sistem sama dengan total gaya yang bekerja. Berdasarkan hukum Newton tersebut, maka dapat ditulis = . Gaya didefinisikan sebagai laju perubahan momentum terhadap waktu . Momentum total dari perpindahan air pada volume kontrol dari ke pada waktu dinotasikan dengan , yaitu = ∫ �ℎ , , 3.6 Dengan mengasumsikan tekanan hidrostatik, gaya pada titik dan di atas kedalaman air pada waktu adalah = � ℎ , = − � ℎ , Dengan adalah konstanta yang menyatakan percepatan gravitasi. Lebih lanjut, gaya pada ∆ seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.2, yaitu ∆ = −� ℎ , ∆ Atau dapat ditulis dengan ∆ = −� ℎ , ∆ ∆ ∆ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Dan karena gaya melalui dasar volume kontrol maka = ∫ −� ℎ , . Oleh karena itu, gaya total di atas volume kontrol dinyatakan dengan yang merupakan jumlahan dari , , dan , yaitu = � ℎ , − � ℎ , − ∫ � ℎ , 3.7 Turunan pertama dari terhadap adalah = ∫ �ℎ , , Dengan menggunakan aturan Leibniz, turunan hasil integral pada persamaan terakhir di atas dapat ditulis = ∫ � � �ℎ , , + �ℎ , , − �ℎ , , 3.8 Menurut hukum kedua Newton tentang gerak, hasil dari persamaan 3.8 sama dengan persamaan 3.7. Oleh karena itu, untuk periode- ∆ dapat ditulis PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ∫ ∫ �ℎ +∆ + ∫ �ℎ , , +∆ − ∫ �ℎ , , +∆ = ∫ � ℎ , +∆ ∫ � ℎ , +∆ − ∫ ∫ � ℎ , +∆ 3.9 Dengan cara yang sama seperti 3.3, persamaan 3.9 dapat ditulis ℎ + ℎ + ℎ = − ℎ Yang biasa disebut dengan persamaan kekekalan momentum. Dengan demikian, persamaan gelombang air dangkal seringkali disebut sistem Saint-Venant. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai dua persamaan simultan { ℎ + ℎ = ℎ + ℎ + ℎ = − ℎ 3.10 di sini variabel x menyatakan arah aliran air.

C. Masalah Bendungan Bobol