Aturan Leibniz Teorema 2.1
Aturan Leibniz untuk satu variabel: Jika adalah fungsi kontinu pada interval
[ , ] dan jika dan
adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap yang nilainya terletak di interval
[ , ], maka
∫ =
−
Teorema 2.2
Aturan Leibniz untuk dua variabel: Jika
, adalah fungsi sedemikian sehingga turunan parsial dari terhadap ada dan kontinu, maka
∫ ,
= ∫ �
� +
, −
, .
Bukti dapat dilihat pada buku karangan David. B dan George. C yang berjudul Basic Partial Differential Equations.
B. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Berikut ini dibahas tentang klasifikasi persamaan diferensial. Klasifikasi persamaan diferensial yang dibahas meliputi definisi dan contoh persamaan
diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, orde persamaan diferensial dan kelinearan suatu persamaan diferensial.
Definisi 2.3
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan turunan-turunannya terhadap variabel-variabel bebas.
Contoh 2.2
Persamaan di bawah ini merupakan contoh persamaan diferensial: +
= 2.1
+ +
= sin 2.2
� � +
� � =
2.3 �
� + �
� + �
� = . 2.4
Definisi 2.4
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan biasa beserta satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
Contoh 2.3
Persamaan 2.1 dan 2.2 adalah persamaan diferensial biasa. Pada persamaan 2.1 variabel adalah suatu variabel bebas, dan variabel adalah
variabel tak bebas. Pada persamaan 2.2, variabel adalah variabel bebas, dengan adalah variabel tak bebasnya.
Definisi 2.5
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu
variabel bebas.
Contoh 2.4
Persamaan 2.3 dan 2.4 adalah persamaan diferensial parsial. Pada persamaan 2.3, variabel dan adalah variabel bebas dan adalah variabel tak
bebasnya. Pada persaman 2.4 terdapat tiga variabel bebas yaitu , , dan . Pada
persamaan 2.4 variabel tak bebasnya adalah .
Definisi 2.6
Orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang terkandung dalam persamaan diferensial.
Contoh 2.5
Persamaan diferensial biasa 2.1 adalah persamaan diferensial orde kedua, karena tingkat tertinggi dari turunan pada persamaan tersebut adalah dua.
Persamaan 2.2 adalah persamaan diferensial biasa orde keempat. Persamaan 2.3 termasuk persamaan diferensial parsial orde pertama. Persamaan 2.4 merupakan
persamaan diferensial parsial orde kedua.
Definisi 2.7
Suatu persamaan diferensial biasa orde ke- , ,
′
,
′′
, … ,
�
= PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dikatakan linear jika merupakan suatu fungsi linear dari variabel
,
′
,
′′
, … ,
�
; definisi yang sama juga berlaku untuk persamaan diferensial parsial. Secara umum persamaan diferensial biasa linear orde dituliskan sebagai
�
+
�−
+ ⋯ +
�
= 2.5
dengan tidak sama dengan nol.
Contoh 2.6
Persamaan diferensial biasa berikut keduanya linear. Pada kedua persamaan berikut, variabel adalah variabel tak bebas. Perhatikan bahwa dan turunan-
turunannya terjadi dengan pangkat satu saja dan tidak ada perkalian dari dan atau turunan dari .
+ +
= 2.6
+ +
= .
2.7
Definisi 2.8
Suatu persamaan diferensial biasa yang tidak memiliki bentuk 2.5 dinamakan persamaan diferensial biasa tak linear.
Contoh 2.7
Persamaan diferensial biasa berikut semuanya tak linear:
+ +
= 2.8
+ + =
2.9
+ +
= 2.10
Persamaan 2.8 tak linear karena variabel tak bebas terdapat pada pangkat kedua dalam bentuk
. Persamaan 2.9 juga tak linear karena terdapat bentuk
� �
yang melibatkan pangkat tiga pada turunan pertama. Persamaan 2.10 tak linear karena pada bentuk
� �
melibatkan perkalian terhadap variabel tak bebas dan turunan pertamanya.
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
