=
′
−
∆
[ + ∆
′
+
∆ ′′
+
∆ 6
′′′
+ ⋯ − − ∆
′
+
∆ ′′
−
∆ 6
′′′
+ ⋯ ] =
′
−
∆
∆
′
+
∆ ′′′
+ ⋯ =
′
−
′
−
∆ 6
′′′
+ ⋯ =
−
∆ 6
′′′
+ ⋯ =
−
∆ 6
′′′
,
−
= ∆
. Jadi, hampiran beda pusat memiliki galat
= −
∆ 6
′′′
,
−
, dengan orde
∆ .
F. Karakteristik Persamaan Gelombang Air Dangkal
Dipandang persamaan gelombang air dangkal ℎ + ℎ =
2.15 ℎ
+ ℎ +
ℎ = .
2.16
Gabungan persamaan 2.15 dan 2.16 dalam suatu sistem persamaan gelombang air dangkal yaitu
[ ℎ ℎ ] + [
ℎ ℎ +
ℎ ] = 2.17
Jika diasumsikan ℎ dan halus smooth, maka persamaan 2.16 dapat
disederhanakan dengan memperluas turunan-turunannya dan menggunakan 2.15 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
untuk menggantikan bentuk ℎ . Kemudian dengan menghilangkan beberapa
bentuk, persamaan 2.16 menjadi
+ [ + ℎ] = .
2.18
Pada persamaan 2.15 dan 2.18 memiliki bentuk yang bergantung dengan konstanta . Bentuk tersebut dapat disubtitusi dengan variabel
� = ℎ. Sehingga sistem persamaan air dangkal menjadi
[�] + [ + � �
] = 2.19
Sistem persamaan tersebut ekuivalen dengan sistem persamaan 2.17 untuk solusi yang halus. Namun ada catatan penting bahwa manipulasi yang dilakukan di atas
bergantung pada kehalusan pada masalah. Kedua sistem dari hukum konservasi tidak ekuivalen dalam menghitung shock waves. Sistem yang tepat untuk digunakan
adalah sistem persamaan 2.17 yang berasal dari persamaan integral asli. Untuk mempelajari shock waves digunakan persamaan 2.17 dan diambil
, = [ ℎ ℎ ] = [ ] ,
= [ ℎ
ℎ + ℎ ] = [
+ ].
Untuk solusi halus smooth, persamaan tersebut dapat ditulis secara ekuivalen dalam bentuk quasilinear
+
′
= Dengan matriks Jacobian
′
adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
′
= [ +
] = [− + ℎ ].
2.20
Nilai eigen dari
′
adalah � = − √ ℎ, � = + √ ℎ
2.21 Dengan vektor eigen
= [ − √ ℎ], = [ + √ ℎ]. 2.22
Nilai eigen dan vektor eigen adalah fungsi untuk sistem nonlinear. Jika diinginkan gelombang dengan amplitudo yang sangat kecil, maka persamaan 2.17 dapat
dilinearkan terlebih dahulu untuk mendapatkan sistem yang linear. Keterangan lengkap tentang karakteristik persamaan air dangkal dapat ditemukan dalam buku
karangan LeVeque 2004. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG AIR
DANGKAL
Dalam bab ini akan dijelaskan metode volume hingga, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling. Metode tersebut
digunakan untuk menyelesaikan masalah bendungan air bobol, terkait dengan persamaan gelombang air dangkal.
A. Solusi Eksak Persamaan Gelombang Air Dangkal
Galat perhitungan pada penurunan numeris diperoleh dengan mengurangkan solusi numeris dengan solusi eksak. Berikut adalah solusi eksak yang akan
digunakan dalam perhitungan simulasi numeris pada MATLAB:
ℎ =
{ ℎ ,
jika − √ ℎ
ℎ = √ ℎ −
, jika − √ ℎ
− √ ℎ
ℎ = ℎ √ + �̇
ℎ − ,
jika − √ ℎ �̇
ℎ , jika
�̇ dan
