Masalah Bendungan Bobol Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

∫ ∫ �ℎ +∆ + ∫ �ℎ , , +∆ − ∫ �ℎ , , +∆ = ∫ � ℎ , +∆ ∫ � ℎ , +∆ − ∫ ∫ � ℎ , +∆ 3.9 Dengan cara yang sama seperti 3.3, persamaan 3.9 dapat ditulis ℎ + ℎ + ℎ = − ℎ Yang biasa disebut dengan persamaan kekekalan momentum. Dengan demikian, persamaan gelombang air dangkal seringkali disebut sistem Saint-Venant. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai dua persamaan simultan { ℎ + ℎ = ℎ + ℎ + ℎ = − ℎ 3.10 di sini variabel x menyatakan arah aliran air.

C. Masalah Bendungan Bobol

Diketahui persamaan gelombang air dangkal dengan topografi horizontal + = 3.11 Dengan kuantitas dan flux berturut-turut adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = [ ℎℎ] dan = [ ℎ ℎ + ℎ ] dengan adalah variabel ruang, adalah variabel waktu, ℎ = ℎ , adalah kedalaman air, = , adalah kecepatan air dan = , adalah percepatan gravitasi. Semua kuantitas diasumsikan dalam satuan SI. Akan disimulasikan solusi masalah bendungan bobol dengan metode volume hingga Lax-Friedrics, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling dengan menggunakan MATLAB kondisi awal adalah air yang tenang seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.2. Pada kasus ini dianggap dinding bendungan ditarik ke atas secara instan. Gambar 3.2: Bendungan air Dinding bendungan air berada di titik = dan kedalaman awal air adalah ℎ , = {ℎ , jika ℎ , jika dan kecepatan awal aliran air adalah Bendungan air Permukaan air Permukaan air ℎ = ℎ = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI , = , untuk semua . Diambil domain ruang [− , ]. Simulasi pada program dihentikan pada = . . Pada kasus ini diasumsikan massa jenis konstan, tidak ada turbulen dan fluida ideal.

D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

Pada bagian ini dibahas mengenai skema metode volume hingga, perhitungan flux secara numeris dalam metode volume hingga dan solusi numeris metode volume hingga Lax-Friedrichs.

1.1. Skema Metode Volume Hingga

Persamaan diferensial parsial hukum kekekalan yang bersifat hiperbolik adalah + = atau ditulis � � , + � � , = . Misalkan domain pada ruang didiskretkan menjadi sebanyak berhingga kontrol volume interval atau sel sebagai berikut: dengan ∆ = − − atau ∆ = + − − . Domain waktu didiskretkan menjadi � = ∙ ∆ − − + − + + dengan = , , , , … Selanjutnya misalkan � adalah pendekatan dari rata-rata volume kuantitas , dalam interval ruang ke- � di waktu � , yaitu � ≈ ∆ ∫ , � �+ �− . Misalkan pula + � adalah pendekatan dari rata-rata debit material flux , di titik + dalam interval waktu [ � , �+ ], yaitu + � ≈ ∆ ∫ + , �+ � . Dari hukum kekekalan, laju perubahan kuantitas massa dinyatakan oleh ∫ , � �+ �− = − [ + , − − , ]. Dengan nilai-nilai pendekatan diperoleh �+ − � ∆ = − + � − − � ∆ atau ditulis �+ = � − ∆ ∆ + � − − � Persamaan tersebut merupakan skema volume hingga untuk + = . Skema metode volume hingga tersebut konsisten dengan skema metode beda hingga sebab dari skema metode volume hingga diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI �+ − � ∆ = − + � − − � ∆ atau �+ − � ∆ + + � − − � ∆ = yang merupakan suatu bentuk diskrit dari + = .

1.2. Perhitungan Flux Secara Numeris dalam Metode Volume Hingga

Dipandang persamaan diferensial parsial berbentuk hukum kekekalan + = . Misalkan � ≈ , � dan + � = + , � . Skema metode volume hingga untuk persamaan diferensial parsial di atas adalah �+ = � − ∆ ∆ + � − − � . Diketahui nilai � yaitu kuantitas numeris di semua titik dan pada waktu � . Oleh karena itu, flux di titik pada waktu � juga diketahui, yaitu � ≈ , � ≈ � . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Metode Stabil dan Tidak Stabil Metode numeris dikatakan stabil artinya bahwa galat yang muncul pada setiap iterasi tidak membesar terlalu cepat pada iterasi-iterasi berikutnya. Jika galat yang muncul pada suatu iterasi membesar menuju tak terhingga pada iterasi-iterasi berikutnya maka metodenya disebut tidak stabil. Teori kestabilan tidak dibahas lebih lanjut dalam skripsi ini. Teori kestabilan dapat dilihat dalam buku-buku referensi misalnya LeVeque 1992, 2004. Di setiap titik + , flux dapat dihitung menggunakan beberapa pendekatan. 1. Flux tak stabil + � ≈ [ � + + � ] Sehingga skema metode volume hingga menjadi �+ = � − ∆ ∆ � + + � − − � − � �+ = � − ∆ ∆ + � − − � Namun, skema metode volume hingga ini tidak stabil. 2. Flux Lax-Friedrichs Skema Lax-Friedrichs memodifikasi skema metode volume hingga tak stabil di atas, yaitu �+ ≈ + � + − � Sehingga diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI �+ = + � + − � − ∆ ∆ [ + � − − � ] Skema Lax-Friedrichs ini stabil untuk ∆ yang cukup kecil. 3. Flux Upwind Metode upwind cocok untuk metode yang sudah diketahui arah rambatan gelombangnya. Contoh jika akan diselesaikan persamaan diferensial parsial + = dengan konstan positif arah rambat gelombang ke kanan + � ≈ , � = , � ≈ � dan − � ≈ − � . Dengan demikian skema upwind adalah �+ = � − ∆ ∆ + � − − � = � − ∆ ∆ � − − � = � − ∆ ∆ � − − � . Solusi Numeris Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs Masalah persamaan gelombang air dangkal dapat diselesaikan dengan menggunakan metode volume hingga. Dipandang sistem persamaan air dangkal 3.11 yaitu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ℎ + [ ℎ] = 3.12 dan [ ℎ] + [ ℎ + ℎ ] = . 3.13 Persamaan 3.12 mempunyai skema metode volume hingga sebagai berikut: �+ = � − ∆ ∆ + � − − � Dengan menggunakan flux Lax-Friedrichs diperoleh + � = � dengan asumsi solusi dan kecepatannya positif. Jadi, jika diketahui persamaan 3.12 maka dalam metode volume hingga diperoleh = ℎ dan = ℎ. Sekarang dari persamaan 3.12 dicari flux + � dan − � . + � = [ � + + � ] − ∆ ∆ + � − � = [ ℎ � + ℎ + � ] − ∆ ∆ ℎ + � − ℎ � = � ℎ � + + � ℎ + � − ∆ ∆ ℎ + � − ℎ � . − � = [ − � + � ] − ∆ ∆ � − − � = [ ℎ − � + ℎ � ] − ∆ ∆ ℎ � − ℎ − � = − � ℎ − � + � ℎ � − ∆ ∆ ℎ � − ℎ − � . Persamaan 3.13 memiliki skema metode volume hingga sebagai berikut �+ = � − ∆ ∆ + � − − � Dengan menggunakan flux Lax-Friedrichs diperoleh + � = � dengan asumsi solusi dan kecepatannya positif. Jadi, jika diketahui persamaan 3.13 maka dalam metode volume hingga diperoleh = ℎ dan = ℎ + ℎ . Sekarang dari persamaan 3.13 dicari flux + � dan − � . + � = [ � + + � ] − ∆ ∆ + � − � = [ ℎ + ℎ � + ℎ + ℎ + � ] − ∆ ∆ ℎ + � − ℎ � = [ � ℎ � + ℎ � + + � ℎ + � + ℎ + � ] − ∆ ∆ + � ℎ + � − � ℎ � . − � = [ − � + � ] − ∆ ∆ � − − � = [ ℎ + ℎ − � + ℎ + ℎ � ] − ∆ ∆ ℎ � − ℎ − � = [ − � ℎ − � + ℎ − � + � ℎ � + ℎ � ] − ∆ ∆ � ℎ � − − � ℎ − � . Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal dengan metode volume hingga dengan menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam Gambar 3.3. Pada hasil simulasi persamaan air dangkal, program simulasi berhenti pada saat = . . Kedalaman awal air pada program ini adalah ℎ = , ℎ = . Gambar 3.3: Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal dengan metode volume hingga Lax-Friedrichs.

E. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi