∫ ∫
�ℎ
+∆
+ ∫ �ℎ
, ,
+∆
− ∫ �ℎ
, ,
+∆
= ∫ � ℎ
,
+∆
∫ � ℎ
,
+∆
− ∫ ∫
� ℎ ,
+∆
3.9
Dengan cara yang sama seperti 3.3, persamaan 3.9 dapat ditulis ℎ
+ ℎ + ℎ = − ℎ
Yang biasa disebut dengan persamaan kekekalan momentum. Dengan demikian, persamaan gelombang air dangkal seringkali disebut
sistem Saint-Venant. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai dua persamaan simultan
{ ℎ + ℎ =
ℎ + ℎ +
ℎ = − ℎ 3.10
di sini variabel x menyatakan arah aliran air.
C. Masalah Bendungan Bobol
Diketahui persamaan gelombang air dangkal dengan topografi horizontal +
= 3.11
Dengan kuantitas dan flux berturut-turut adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= [ ℎℎ] dan = [
ℎ ℎ +
ℎ ] dengan adalah variabel ruang, adalah variabel waktu,
ℎ = ℎ , adalah kedalaman air,
= , adalah kecepatan air dan = , adalah percepatan
gravitasi. Semua kuantitas diasumsikan dalam satuan SI. Akan disimulasikan solusi masalah bendungan bobol dengan metode volume
hingga Lax-Friedrics, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling dengan menggunakan MATLAB kondisi awal adalah air yang
tenang seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.2. Pada kasus ini dianggap dinding bendungan ditarik ke atas secara instan.
Gambar 3.2: Bendungan air
Dinding bendungan air berada di titik = dan kedalaman awal air adalah
ℎ , = {ℎ , jika
ℎ , jika dan kecepatan awal aliran air adalah
Bendungan air Permukaan air
Permukaan air ℎ =
ℎ = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
, = , untuk semua .
Diambil domain ruang [− , ]. Simulasi pada program dihentikan pada = . .
Pada kasus ini diasumsikan massa jenis konstan, tidak ada turbulen dan fluida ideal.
D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
Pada bagian ini dibahas mengenai skema metode volume hingga, perhitungan flux secara numeris dalam metode volume hingga dan solusi numeris metode
volume hingga Lax-Friedrichs.
1.1. Skema Metode Volume Hingga
Persamaan diferensial parsial hukum kekekalan yang bersifat hiperbolik
adalah
+ =
atau ditulis
� �
, +
� �
, = . Misalkan domain pada ruang didiskretkan menjadi sebanyak berhingga kontrol
volume interval atau sel sebagai berikut:
dengan ∆ =
−
− atau ∆ =
+
−
−
. Domain waktu didiskretkan menjadi
�
= ∙ ∆
− −
+ −
+ +
dengan = , , , , …
Selanjutnya misalkan
�
adalah pendekatan dari rata-rata volume kuantitas ,
dalam interval ruang ke- � di waktu
�
, yaitu
�
≈ ∆ ∫ ,
�
�+ �−
.
Misalkan pula
+ �
adalah pendekatan dari rata-rata debit material flux ,
di titik
+
dalam interval waktu [
�
,
�+
], yaitu
+ �
≈ ∆ ∫
+
,
�+ �
. Dari hukum kekekalan, laju perubahan kuantitas massa dinyatakan oleh
∫ ,
�
�+ �−
= − [
+
, −
−
, ].
Dengan nilai-nilai pendekatan diperoleh
�+
−
�
∆ = −
+ �
−
− �
∆ atau ditulis
�+
=
�
− ∆
∆
+ �
−
− �
Persamaan tersebut merupakan skema volume hingga untuk +
= . Skema metode volume hingga tersebut konsisten dengan skema metode beda
hingga sebab dari skema metode volume hingga diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
�+
−
�
∆ = −
+ �
−
− �
∆ atau
�+
−
�
∆ +
+ �
−
− �
∆ =
yang merupakan suatu bentuk diskrit dari +
= .
1.2. Perhitungan Flux Secara Numeris dalam Metode Volume Hingga
Dipandang persamaan diferensial parsial berbentuk hukum kekekalan +
= .
Misalkan
�
≈ ,
�
dan
+ �
=
+
,
�
.
Skema metode volume hingga untuk persamaan diferensial parsial di atas adalah
�+
=
�
− ∆
∆
+ �
−
− �
.
Diketahui nilai
�
yaitu kuantitas numeris di semua titik dan pada waktu
�
. Oleh karena itu, flux di titik pada waktu
�
juga diketahui, yaitu
�
≈ ,
�
≈
�
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Metode Stabil dan Tidak Stabil
Metode numeris dikatakan stabil artinya bahwa galat yang muncul pada setiap iterasi tidak membesar terlalu cepat pada iterasi-iterasi berikutnya. Jika galat yang
muncul pada suatu iterasi membesar menuju tak terhingga pada iterasi-iterasi berikutnya maka metodenya disebut tidak stabil. Teori kestabilan tidak dibahas
lebih lanjut dalam skripsi ini. Teori kestabilan dapat dilihat dalam buku-buku referensi misalnya LeVeque 1992, 2004.
Di setiap titik
+
, flux dapat dihitung menggunakan beberapa pendekatan.
1. Flux tak stabil
+ �
≈ [
�
+
+ �
] Sehingga skema metode volume hingga menjadi
�+
=
�
− ∆
∆
�
+
+ �
−
− �
−
�
�+
=
�
− ∆
∆
+ �
−
− �
Namun, skema metode volume hingga ini tidak stabil. 2.
Flux Lax-Friedrichs Skema Lax-Friedrichs memodifikasi skema metode volume hingga tak stabil di
atas, yaitu
�+
≈
+ �
+
− �
Sehingga diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
�+
=
+ �
+
− �
− ∆
∆ [
+ �
−
− �
] Skema Lax-Friedrichs ini stabil untuk
∆ yang cukup kecil. 3.
Flux Upwind Metode upwind cocok untuk metode yang sudah diketahui arah rambatan
gelombangnya. Contoh jika akan diselesaikan persamaan diferensial parsial +
= dengan konstan positif arah rambat gelombang ke kanan
+ �
≈ ,
�
= ,
�
≈
�
dan
− �
≈
− �
. Dengan demikian skema upwind adalah
�+
=
�
− ∆
∆
+ �
−
− �
=
�
− ∆
∆
�
−
− �
=
�
− ∆
∆
�
−
− �
.
Solusi Numeris Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
Masalah persamaan gelombang air dangkal dapat diselesaikan dengan menggunakan metode volume hingga. Dipandang sistem persamaan air dangkal
3.11 yaitu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ℎ + [ ℎ] = 3.12
dan [ ℎ] + [ ℎ +
ℎ ] = . 3.13
Persamaan 3.12 mempunyai skema metode volume hingga sebagai berikut:
�+
=
�
− ∆
∆
+ �
−
− �
Dengan menggunakan flux Lax-Friedrichs diperoleh
+ �
=
�
dengan asumsi solusi dan kecepatannya positif. Jadi, jika diketahui persamaan 3.12 maka dalam metode volume hingga diperoleh
= ℎ dan = ℎ.
Sekarang dari persamaan 3.12 dicari flux
+ �
dan
− �
.
+ �
= [
�
+
+ �
] − ∆
∆
+ �
−
�
= [ ℎ
�
+ ℎ
+ �
] − ∆
∆ ℎ
+ �
− ℎ
�
=
�
ℎ
�
+
+ �
ℎ
+ �
− ∆
∆ ℎ
+ �
− ℎ
�
.
− �
= [
− �
+
�
] − ∆
∆
�
−
− �
= [ ℎ
− �
+ ℎ
�
] − ∆
∆ ℎ
�
− ℎ
− �
=
− �
ℎ
− �
+
�
ℎ
�
− ∆
∆ ℎ
�
− ℎ
− �
. Persamaan 3.13 memiliki skema metode volume hingga sebagai berikut
�+
=
�
− ∆
∆
+ �
−
− �
Dengan menggunakan flux Lax-Friedrichs diperoleh
+ �
=
�
dengan asumsi solusi dan kecepatannya positif. Jadi, jika diketahui persamaan 3.13 maka dalam metode volume hingga diperoleh
= ℎ dan = ℎ +
ℎ .
Sekarang dari persamaan 3.13 dicari flux
+ �
dan
− �
.
+ �
= [
�
+
+ �
] − ∆
∆
+ �
−
�
= [ ℎ + ℎ
�
+ ℎ + ℎ
+ �
] − ∆
∆ ℎ
+ �
− ℎ
�
= [
�
ℎ
�
+ ℎ
�
+
+ �
ℎ
+ �
+ ℎ
+ �
]
− ∆
∆
+ �
ℎ
+ �
−
�
ℎ
�
.
− �
= [
− �
+
�
] − ∆
∆
�
−
− �
= [ ℎ + ℎ
− �
+ ℎ + ℎ
�
] − ∆
∆ ℎ
�
− ℎ
− �
= [
− �
ℎ
− �
+ ℎ
− �
+
�
ℎ
�
+ ℎ
�
]
− ∆
∆
�
ℎ
�
−
− �
ℎ
− �
. Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal dengan metode
volume hingga dengan menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam Gambar 3.3. Pada hasil simulasi persamaan air dangkal, program simulasi berhenti
pada saat = . . Kedalaman awal air pada program ini adalah ℎ =
, ℎ = .
Gambar 3.3: Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal dengan metode volume hingga Lax-Friedrichs.
E. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi