Metode Beda Hingga Grid Kolokasi

E. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi

Metode beda hingga digunakan dalam masalah komputasi numerik. Metode beda hingga dibagi menjadi tiga bagian, yaitu beda maju, beda mundur, dan beda pusat. Solusi Numeris Metode Beda Hingga Grid Kolokasi Diketahui nilai awal kedalaman air ℎ = dan ℎ = , kecepatan air = = , dan percepatan gravitasi = . . Banyaknya langkah untuk ruang adalah dengan ∈ ℤ + dan index � untuk menunjukkan ruang yaitu � + . Langkah ukuran dilambangkan dengan ∆= − � . Jadi, = + � − ∆, = dan �+ = , dan banyaknya interval kecil adalah − simpul node. Begitu juga untuk waktu, jumlah langkah untuk waktu adalah dengan ∈ ℤ + . Untuk � waktu, ∈ ℤ + : − . Berikut akan dihitung persamaan beda yaitu beda mundur untuk waktu dan beda pusat untuk ruang. Beda mundur untuk variabel waktu � Dipandang persamaan 3.12 dan 3.13. Kedua persamaan tersebut ditulis secara sistematis dan diasumsikan nilai ℎ , dan , pada waktu �− kemudian dicari nilai pada waktu � . � � ℎ , ≈ ℎ , � − ℎ , �− ∆ atau dapat ditulis ≈ ℎ � − ℎ �− ∆ . dan � � [ℎ , , ] = ℎ , � � , + , � � ℎ , atau dapat ditulis ≈ ℎ , �− � � , �− + , �− � � ℎ , �− dengan melakukan diskritisasi lengkap diperoleh ≈ ℎ �− � − �− ∆ + �− ℎ � − ℎ �− ∆ . Beda pusat untuk variabel ruang � Dipandang persamaan 3.12 dan 3.13. Kedua persamaan tersebut ditulis secara sistematis dan diasumsikan nilai ℎ , dan , pada ruang − kemudian dicari nilai pada waktu . � � [ , ℎ , ] = , � � ℎ , + ℎ , � � , ≈ , �− � � ℎ , � + ℎ , �− � � , � ≈ �− ℎ + � − ℎ − � ∆ + ℎ �− + � − − � ∆ dan � � [ℎ , , + ℎ , ] = � � [ℎ , , ] + � � ℎ , dengan � � [ℎ , , ] = ℎ , � � , + , � � ℎ , = ℎ , , � � , + , � � ℎ , ≈ ℎ , �− , �− � � , � + , �− � � ℎ , � ≈ ℎ �− �− + � − − � ∆ + �− ℎ + � − − � ∆ dan untuk bentuk kedua � � ℎ , = ℎ , � � ℎ , ≈ ℎ �− ℎ + � − ℎ − � ∆ . Jadi, persamaan beda dari 3.12 dan 3.13 menjadi [ ℎ � − ℎ �− ∆ ℎ �− � − �− ∆ + �− ℎ � − ℎ �− ∆ ] + [ �− ℎ + � − ℎ − � ∆ + ℎ �− + � − − � ∆ ℎ �− �− + � − − � ∆ + �− ℎ + � − − � ∆ + ℎ �− ℎ + � − ℎ − � ∆ ] = [ ] atau dapat ditulis berdasarkan persamaan konservasi massa dalam bentuk diskrit PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ℎ � − ℎ �− ∆ + �− ℎ + � − ℎ − � ∆ + ℎ �− + � − − � ∆ = 3.16 dan konservasi momentum dalam bentuk diskrit ℎ �− � − �− ∆ + �− ℎ � − ℎ �− ∆ + ℎ �− �− + � − − � ∆ + �− ℎ + � − − � ∆ + ℎ �− ℎ + � − ℎ − � ∆ = 3.17 Persamaan 3.16 dikali dengan �− diperoleh �− ℎ � − ℎ �− ∆ + �− ℎ + � − ℎ − � ∆ + �− ℎ �− + � − − � ∆ = 3.18 Persamaan 3.17 dikurang 3.18 diperoleh ℎ �− � − �− ∆ + ℎ �− �− + � − − � ∆ + ℎ �− ℎ + � − ℎ − � ∆ = Sehingga diperoleh dua persamaan �− ℎ � − ℎ �− ∆ + �− ℎ + � − ℎ − � ∆ + �− ℎ �− + � − − � ∆ = ℎ �− � − �− ∆ + ℎ �− �− + � − − � ∆ + ℎ �− ℎ + � − ℎ − � ∆ = 3.19 Persamaan konservasi massa pada persamaan 3.19 dibagi dengan �− , diperoleh ℎ � − ℎ �− ∆ + �− ℎ + � − ℎ − � ∆ + ℎ �− + � − − � ∆ = ℎ �− � − �− ∆ + ℎ �− �− + � − − � ∆ + ℎ �− ℎ + � − ℎ − � ∆ = 3.20 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Persamaan 3.20 dikali dengan ∆ ∆ diperoleh ∆ ℎ � − ℎ �− + ∆ �− ℎ + � − ℎ − � + ∆ ℎ �− + � − − � = ∆ ℎ �− � − �− + ∆ ℎ �− �− + � − − � + ∆ ℎ �− ℎ + � − ℎ − � = . 3.21 Dengan menggunakan sifat distributif pada perkalian, persamaan 3.21 menjadi ∆ ℎ � − ∆ ℎ �− + ∆ �− ℎ + � − ∆ �− ℎ − � + ∆ ℎ �− + � − ∆ ℎ �− − � = ∆ ℎ �− � − ∆ ℎ �− �− + ∆ ℎ �− �− + � − ∆ ℎ �− �− − � + ∆ ℎ �− ℎ + � − ∆ ℎ �− ℎ − � = Sehingga persamaan 3.16 menjadi ∆ ℎ � + ∆ �− ℎ + � − ∆ �− ℎ − � + ∆ ℎ �− + � − ∆ ℎ �− − � = ∆ ℎ �− dan 3.17 menjadi 3.22 ∆ ℎ �− � + ∆ ℎ �− �− + � − ∆ ℎ �− �− − � + ∆ ℎ �− ℎ + � − ∆ ℎ �− ℎ − � = ∆ ℎ �− �− 3.23 Diambil nilai = , kemudian dicari solusi awal untuk persamaan linear diskritisasi sebagai berikut: Untuk � = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI ∆ ℎ � + ∆ �− ℎ � − ∆ �− ℎ � + ∆ ℎ �− � − ∆ ℎ �− � = ∆ ℎ �− dan 3.24 ∆ ℎ �− � + ∆ ℎ �− �− � − ∆ ℎ �− �− � + ∆ ℎ �− ℎ � − ∆ ℎ �− ℎ � = ∆ ℎ �− �− 3.25 Untuk � = ∆ ℎ � + ∆ �− ℎ � − ∆ �− ℎ � + ∆ ℎ �− � − ∆ ℎ �− � = ∆ ℎ �− dan 3.26 ∆ ℎ �− � + ∆ ℎ �− �− � − ∆ ℎ �− �− � + ∆ ℎ �− ℎ � − ∆ ℎ �− ℎ � = ∆ ℎ �− �− 3.27 Untuk � = ∆ ℎ � + ∆ �− ℎ � − ∆ �− ℎ � + ∆ ℎ �− � − ∆ ℎ �− � = ∆ ℎ �− dan 3.28 ∆ ℎ �− � + ∆ ℎ �− �− � − ∆ ℎ �− �− � + ∆ ℎ �− ℎ � − ∆ ℎ �− ℎ � = ∆ ℎ �− �− 3.29 Variabel � , � , � , ℎ � , ℎ � , ℎ � tidak diketahui dan enam persamaan berikut dapat disederhanakan menjadi: Untuk � = ∆ ℎ � + ∆ �− ℎ � + ∆ ℎ �− � − ∆ ℎ �− � = ∆ ℎ �− + ∆ �− ℎ � + −∆ ℎ �− � 3.30 ∆ ℎ �− � + ∆ ℎ �− �− � + ∆ ℎ �− ℎ � = ∆ ℎ �− �− + ∆ ℎ �− ℎ � + ∆ ℎ �− �− � 3.31 Untuk � = ∆ ℎ � + ∆ �− ℎ � − ∆ �− ℎ � + ∆ ℎ �− � − ∆ ℎ �− � = ∆ ℎ �− dan 3.32 ∆ ℎ �− � + ∆ ℎ �− �− � − ∆ ℎ �− �− � + ∆ ℎ �− ℎ � − ∆ ℎ �− ℎ � = ∆ ℎ �− �− 3.33 Untuk � = ∆ ℎ � − ∆ �− ℎ � − ∆ ℎ �− � = ∆ ℎ �− − ∆ �− ℎ � − ∆ ℎ �− � dan 3.34 ∆ ℎ �− � − ∆ ℎ �− �− � − ∆ ℎ �− ℎ � = ∆ ℎ �− �− − ∆ ℎ �− ℎ � − ∆ ℎ �− �− � 3.35 Jika diketahui syarat batas kecepatan awal , = , = , dan ketinggian awal ℎ , = , ℎ , = maka diperoleh matriks [ ∆ ℎ − ∆ ∆ − ∆ ℎ − ∆ ℎ − − ∆ ℎ − −∆ ℎ − ∆ ℎ − −∆ − ∆ ∆ − −∆ ℎ − − ∆ ℎ − ∆ ℎ − − −∆ ℎ − ∆ ℎ − −∆ − −∆ ℎ − ∆ −∆ ℎ − − ∆ ℎ − −∆ ℎ − ] [ � � � ℎ � ℎ � ℎ � ] = [ ∆ ℎ �− + ∆ �− ∆ ℎ �− �− + ∆ ℎ �− ∆ ℎ �− ∆ ℎ �− �− ∆ ℎ �− − ∆ �− ∆ ℎ �− �− − ∆ ℎ �− ] Misalkan � = ∆ ℎ − ∆ ∆ − ∆ ℎ − ∆ ℎ − − ∆ ℎ − −∆ ℎ − ∆ ℎ − −∆ − ∆ ∆ − −∆ ℎ − − ∆ ℎ − ∆ ℎ − − −∆ ℎ − ∆ ℎ − −∆ − −∆ ℎ − ∆ −∆ ℎ − − ∆ ℎ − −∆ ℎ − � = � � � ℎ � ℎ � ℎ � , = ∆ ℎ �− + ∆ �− ∆ ℎ �− �− + ∆ ℎ �− ∆ ℎ �− ∆ ℎ �− �− ∆ ℎ �− − ∆ �− ∆ ℎ �− �− − ∆ ℎ �− , Sekarang enam persamaan tersebut memiliki bentuk linear �� = yang dapat diselesaikan. Dalam program MATLAB digunakan syarat batas untuk kedalaman awal air ℎ = , ℎ = . Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal dengan metode beda hingga grid kolokasi dengan menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam Gambar 3.4. Hasil simulasi program berhenti pada waktu = . . Gambar 3.4: Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal dengan metode beda hingga grid kolokasi.

F. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling