+ + =
2.9
+ +
= 2.10
Persamaan 2.8 tak linear karena variabel tak bebas terdapat pada pangkat kedua dalam bentuk
. Persamaan 2.9 juga tak linear karena terdapat bentuk
� �
yang melibatkan pangkat tiga pada turunan pertama. Persamaan 2.10 tak linear karena pada bentuk
� �
melibatkan perkalian terhadap variabel tak bebas dan turunan pertamanya.
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Berikut dibahas mengenai definisi dan contoh dari nilai eigen dan vektor eigen.
Definisi 2.9
Jika � adalah matriks × , maka vektor tak nol � di ℝ
�
disebut vektor eigen dari
� jika �� merupakan perkalian skalar dengan � atau dapat ditulis �� = ��
untuk suatu skalar
�. Skalar � disebut nilai eigen dari � dan � disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan
�. Contoh 2.8
Vektor � = [ ] adalah vektor eigen dari
� = [ − ]
yang bersesuaian dengan nilai eigen � = , karena
�� = [ − ] [ ] = [ ] = �.
Secara geometri, perkalian matriks � dengan vektor � memiliki kelipatan 3
terhadap vektor �. Ilustrasi secara geometri ditunjukkan dalam Gambar 2.2.
Gambar 2.2: Ilustrasi geometri vektor eigen. D.
Persamaan Diferensial Hiperbolik
Persamaan diferensial hiperbolik dapat digunakan untuk memodelkan banyak fenomena yang melibatkan pergerakan gelombang. Perhatikan bentuk persamaan
diferensial berikut , + �
, = , 2.11
Di sini =
�� �
dan =
�� �
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dalam kasus yang paling sederhana yaitu koefisien konstan dan linear. Dalam hal ini
∶ ℝ × ℝ → ℝ
�
adalah vektor dengan komponen yang menyatakan fungsi yang tidak diketahui tekanan, kecepatan, dan sebagainya yang ingin ditentukan,
dan � suatu konstan merupakan matriks real berukuran × n. Andaikan � = ̅
suatu konstan yang menyatakan kecepatan perambatan aliran pada pipa satu dimensi misalnya, maka persamaan 2.11 menjadi
, + ̅ , = ,
2.12 persamaan ini disebut persamaan adveksi.
Persamaan , + �
, = adalah persamaan hiperbolik, jika matriks
� memiliki nilai eigen real dan berkorespondensi dengan vektor eigen yang bebas linear. Artinya, semua vektor dalam
ℝ
�
dapat secara tunggal diuraikan sebagai kombinasi linear dari nilai-nilai eigen tersebut. Secara formal definisi
persamaan diferensial hiperbolik sebagai berikut.
Definisi 2.10
Suatu sistem linear dengan bentuk + � =
dikatakan hiperbolik jika matriks � yang berukuran × n dapat didiagonalkan
dengan nilai eigen real. Secara khusus untuk persamaan adveksi, diketahui bahwa
� = ̅, yang merupakan suatu konstanta real. Jadi
� dapat didiagonalkan oleh nilai � itu sendiri dan nilai eigen dari
� adalah � itu sendiri. Dengan demikian, persamaan adveksi merupakan persamaan diferensial hiperbolik. Keterangan lengkap tentang
persamaan diferensial hiperbolik dapat ditemukan dalam buku karangan LeVeque 2004.
E. Penurunan Numeris
