14
4. Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan objek
yang sedang dibicarakan. Notasi “S”. Contoh:
M = {apel, mangga, pisang, stroberi, anggur} Himpunan semesta yang mungkin dari him-
punan di atas adalah: S = {nama buah}.
5. Himpunan Bagian
Himpunan bagian adalah himpunan yang merupakan anggota dari himpunan keselu-
ruhan. Himpunan bagian dilambangkan den- gan “ ”.
Ø Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.
Ø Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri.
Diketahui himpunan A dengan banyak ang- gota nA maka banyaknya himpunan bagian
yang mungkin dari himpunan itu adalah 2
nA
Contoh:
Diketahui himpunan A = {1, 3, 5} Banyak himpunan bagian yang mungkin dari
himpunan A adalah 2
nA
= 2
3
= 8 Himpunan bagian dari A adalah
A,
∅
, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}.
D. DIAGRAM VENN
Diagram Venn adalah diagram yang digunakan untuk menyatakan beberapa himpunan atau
hubungan antarhimpunan. Contoh:
Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {2, 3, 5, 7} S = {bilangan asli kurang dari 8}
Dari soal, diperoleh S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
S B
A
7 4
1 6
2 3
5
E. HUBUNGAN ANTARHIMPUNAN
1. Himpunan Ekuivalen
Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B jika nA = nB.
Contoh: A = {1, 2, 3, 4}; B = {5, 6, 7, 8} Karena nA = nB maka himpunan A ekuiva-
len dengan himpunan B.
2. Himpunan Sama
Himpunan A dikatakan sama dengan himpu- nan B jika anggota himpunan A sama den-
gan anggota himpunan B atau sebaliknya. Jika himpunan A sama dengan B maka dapat
ditulis A = B. Contoh:
A = {a, d, i} dan B = {i, d, a} A = B.
Di unduh dari : Bukupaket.com
15
G. IRISAN DAN GABUNGAN DUA HIMPUNAN
Ø Irisan dua himpunan A dan B adalah himpu- nan yang anggota-anggotanya merupakan
anggota himpunan A sekaligus B. A
B = {x | x A dan x
B} ∈
∈
Ø Gabungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya me-
rupakan anggota himpunan A saja atau ang- gota B saja.
A B = {x | x
A atau x B}
∈ ∈
Irisan dan gabungan dua himpunan dalam dia-
gram Venn. S
S
A ∩ B
A ∪ B
B A
B A
Contoh: Diketahui: A = {bilangan genap kurang dari 11} dan
B = {faktor dari 10}. Tentukan irisan dan gabungan himpunan A dan B
Dari soal diketahui: A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {1, 2, 5, 10}
S S
A ∩ B
A ∪ B
B A
A B
1 5
2 10
4 6
8 1
5 2
10 4
6 8
A ∩ B = {2, 10} dan A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10}
H. SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN
1. Komutatif
A B = B
A A
B = B A
2. Asosiatif
A B
C = A B
C A
B C = A
B C
3. Distributif
A B
C A
B A
C A
B C
A B
A C
= =
4. Dalil De Morgan
c c
c c
c c
A B
= A B
A B
= A B
Contoh:
1. Dalam suatu kelas terdapat 40 anak, 24 anak gemar menari, 21 anak gemar menyanyi,
dan 10 anak gemar keduanya. Banyaknya anak yang tidak gemar keduanya adalah .…
Jawab: Misalkan:
S = {anak yang ada di kelas}
à nS = 40 A = {anak yang gemar menari}
à nA = 24 B = {anak yang gemar menyanyi}
à nB = 21 A
∩ B = {anak yang gemar menari dan me- nyanyi}
à nA ∩ B = 10
Di unduh dari : Bukupaket.com
16
A ∪ B = {anak yang gemar menari atau me-
nyanyi} A
∪ B
c
= {anak yang tidak gemar menari atau menyanyi}
Dengan menggunakan rumus diperoleh: nA B = nA + nB
− nA B = 24 + 21
− 10 = 35 nS = nA B + nA B
c
⇔ 40 = 35 + nA B
c
⇔ nA B
c
= 5
Jadi, banyaknya anak yang tidak gemar menari atau menyanyi adalah 5 anak.
Dalam diagram Venn dapat digambarkan S
B A
11 5
10 14
2. Diketahui himpunan berikut. A = {b, u, n, d, a}
B = {i, b, u, n, d, a} C = {lima bilangan asli yang pertama}
D = {bilangan cacah kurang dari 6} Jawab:
A = {b, u, n, d, a}
à nA = 5 B = {i, b, u, n, d, a}
à nB = 6 C = {lima bilangan asli yang pertama}
= {1, 2, 3, 4, 5 } à nC = 5
D = {bilangan cacah kurang dari 6} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
à nC = 6 Karena nA = nC = 5 dan nB = nD = 6,
maka pasangan himpunan yang ekuivalen adalah A dengan C dan B dengan D.
7
Sudut dan Garis
A. Garis
Garis adalah deretankumpulan titik-titik yang banyaknya tak terhingga, yang saling bersebe-
lah-an dan memanjang ke dua arah.
1. Dua Garis Berpotongan
Kategori