19
8
Relasi dan Fungsi
A. RELASI
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota himpunan A dengan ang-
gota himpunan B.
Menyatakan Relasi 1. Diagram panah
Contoh: Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {1, 3, 6}. Maka
relasi yaitu “faktor dari” dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan dia-
gram panah sebagai berikut:
1 2
3 1
3 6
2. Diagram Cartesius
1 1
3 2 3
6
Contoh: Diketahui A = {1, 2, 3} dan
B = {1, 3, 6}. Relasi“faktor dari” dari himpunan A ke
himpunan B dapat din- yatakan dalam diagram
Cartesius disamping.
3. Himpunan pasangan berurutan
Contoh: Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {1, 3, 6}. Relasi
“faktor dari” dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dalam himpunan pasangan
berurutan sebagai berikut. {1, 1, 1, 3, 1, 6, 2, 6, 3, 3, 3, 6}
B. FUNGSI PEMETAAN
1. Pengertian Fungsi Pemetaan
Fungsi pemetaan dari A ke B adalah suatu relasi yang lebih khusus yang menghubung-
kan setiap anggota A dengan tepat satu ang- gota B.
Contoh:
A B
Pada contoh, setiap anggota di A dipasang- kan dengan tepat satu anggota di B.
2. Domain, Kodomain, dan Range
Ø domain adalah daerah asal atau daerah deinisi fungsi itu,
Ø kodomain adalah daerah kawan, Ø range atau daerah hasil adalah himpun-
an bagian dari daerah kawan atau kodo- main.
Di unduh dari : Bukupaket.com
20
Contoh: A
1 1
4 8
9 2
3
B -
Domain:
A = {1, 2, 3} -
Kodomain:
B = {1, 4, 8, 9} -
Range:
{1, 4, 9}
3. Banyak Fungsi Pemetaan
Diketahui banyak anggota himpunan A adalah nA dan banyak anggota himpunan
B adalah nB, maka:
Ø Banyak fungsi dari A ke B = nB
nA
Ø Banyak fungsi dari B ke A = nA
nB
Contoh: Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {A, B, C, D},
maka nA = 3 dan nB = 4. a. Banyak fungsi yang mungkin dari A ke B
= nB
nA
= 4
3
= 64. b. Banyak fungsi yang mungkin dari B ke A
= nA
nB
= 3
4
= 81.
4. Notasi dan Rumus Fungsi Linear a. Notasi fungsi linear
Fungsi linear dinotasikan dengan f : x
ax + b
x variabel.
Keterangan: f = nama fungsi
x = anggota daerah asal ax + b = bayangan dari x
b. Rumus fungsi linear
fx = ax + b x variabel dan fx nilai fungsi.
Contoh: fx = 2x + 1
Nilai fungsi untuk x = 1 adalah f1 = 2
× 1 + 1 = 3
c. Graik fungsi linear
Contoh: Diketahui fungsi fx = 2x + 1.
Gambarkan fungsi linear tersebut ke dalam bentuk graik
Diambil nilai x = 0 dan x = 1.
l
Untuk x = 0 à y = 2
× 0 + 1 = 1. Maka,
diperoleh koordinat 0, 1
l
Untuk x = 1 à y = 2
× 1 + 1 = 3. Maka,
diperoleh koordinat 1, 3
0, 1 1
1, 3
y
x
Contoh:
Diketahui pemetaan f : x à 2 – 3x. Jika daerah
asalnya {–2, –1, 0, 1, 2} maka daerah hasilnya adalah ….
Jawab:
Di unduh dari : Bukupaket.com
21
Diketahui pemetaan f : x à 2 – 3x, dengan dae-
rah asal {–2, –1, 0, 1, 2}. Maka diperoleh:
f : –2 à 2 – 3
× –2 = 2 + 6 = 8
f : –1 à 2 – 3
× –1 = 2 + 3 = 5
f : 0 à 2 – 3
× 0 = 2 – 0 = 2
f : 1 à 2 – 3
× 1 = 2 – 3 = –1
f : 2 à 2 – 3
× 2 = 2 – 6 = –4
Daerah hasilnya adalah {–4, –1, 2, 5, 8}.
C. KORESPONDENSI SATU-SATU
1. Pengertian Korespondensi Satu-satu
Himpunan A dikatakan berkorespondensi satu-satu dengan himpunan B jika setiap
anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B dipasang-
kan dengan tepat satu anggota A. Dengan demikian, pada korespondensi satu-satu dari
himpunan A ke himpunan B, banyak anggota himpunan A dan himpunan B harus sama.
2. Banyak Korespondensi Satu-satu
Diketahui nA = nB = n. Maka banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin an-
tara himpunan A dan B adalah 1 2 3 ... n 1 n
× × × × − × Contoh:
Diketahui himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}. Banyaknya korespondensi satu-
satu yang mungkin untuk himpunan A dan B
adalah 1 2 3
× × = 6.
9
Persamaan Garis Lurus
Bentuk umum persamaan garis lurus: y = mx + c
Keterangan: m = gradien
c = konstanta
Persamaan garis dapat dinyatakan dalam berb- agai bentuk dan variabel.
Contoh: y = 3x + 1 dan a = b + 2
A. GRADIEN
Gradien m adalah nilai yang menyatakan ke- miringan suatu garis.
1.
Garis melalui dua titik Ax
1
, y
1
dan Bx
2
, y
2
O
Ax
1
, y
1
x y
Bx
2
, y
2
2 1
1 2
2 1
1 2
y y
y y
m x
x x
x −
− =
= −
−
Di unduh dari : Bukupaket.com
22
2. Gradien dua garis sejajar Garis g sejajar dengan garis h. Jika gradien
garis h adalah m
h
, maka gradien garis g adalah
g h
m m
= 3. Gradien dua garis tegak lurus
g h
m m
1 ×
= − atau
g h
1 m
m −
=
B. RUMUS PERSAMAAN GARIS
1.
Persamaan garis yang melaui titik Ax
1
, y
1
dan bergradien m.
O
Ax
1
, y
1
gradien m
x y
1 1
y y
m x x
− =
−
2. Persamaan garis yang melaui titik Ax
1
, y
1
dan Bx
2
, y
2
.
O
Ax
1
, y
1
x y
Bx
2
, y
2
1 2
1 1
2 1
y y
y y
x x
x x
− −
= −
−
Contoh:
1. Gradien garis yang tegak lurus dengan garis h : 3x – 6y + 4 = 0 adalah ….
Jawab:
1 2
2 3
3x 6y
4 6y
3x 4
y x
− + =
⇔ − = −
− ⇔ =
+ Gradien garis h adalah m
h
= ½. Misalkan garis yang ditanyakan adalah garis g,
maka gradien garis g adalah
g 1
2 h
1 1
m 2
m = −
= − = −
. 2. Persamaan garis yang melalui titik A2, 3 dan se-
jajar dengan garis 3x + 5y = 15 adalah .… Jawab:
3x + 5y = 5 ⇔ y =
3 5
− x + 3
Gradien garis tersebut adalah m = 3
5 −
.
Karena garis yang dicari sejajar dengan garis 3x +
5y = 15, maka gradiennya juga m = 3
5 −
. Karena melalui titik A2, 3, maka persamaan
garisnya adalah
1 1
y y
m x x
3 y
3 x
2 5
− =
− ⇔ − = −
− 3
6 y
3 x
5 5
5y 15 3x
6 3x
5y 21
⇔ − = − +
⇔ −
= − +
⇔ +
=
Di unduh dari : Bukupaket.com
23
10
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Ø Persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan yang variabelnya berpangkat
berderajat paling tinggi 1 satu dan mem- punyai dua variabel.
Contoh: 3x + 2y =3
Ø Sistem persamaan linear dengan dua varia- bel adalah suatu sistem persamaan yang
terdiri atas dua persamaan linear di mana masing-masing persamaan mempunyai dua
variabel dan sistem tersebut mempunyai te- pat satu penyelesaian.
Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
1 1
1 2
2 2
a x + b y = c a x + b y = c
dengan x dan y adalah variabel.
Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Contoh: Carilah penyelesaian dari persamaan:
y = 2x 2x + y = 8
Untuk menentukan penyelesaian dari sistem pers-
amaan linear dua variabel tersebut dapat dilaku- kan dengan metode berikut.
1. Substitusi
