6.2 Metode Transformasi Laplace
Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara
tersebut adalah:
a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.
Metode ini berkaitan langsung dengan definisi
}
{ dt
t F
e t
F L
st
p st
p
dt t
F e
Lim
Contoh
}
{ dt
t F
e t
F L
st
p st
p
tdt e
lim 1
. lim
st p
p
e d
s t
dt e
te s
p st
st p
lim
1
p st
st p
e s
te s
1 lim
1
s
s 1
1
2
1 s
s f
b. Metode Deret
Misal Ft mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
132
...
3 3
2 2
1
t
a t
a t
a a
t F
n n
n
t a
Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:
... }
{ }
{ }
{ }
{ }
{
3 3
2 2
1
t
a L
t a
L t
a L
a L
t F
L
... 2
3 2
2 1
s a
s a
s a
o
1 n
n n
s a
n
, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s
c. Metode Persamaan differensial Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang
dipenuhi oleh Ft dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.
d. Menurunkan terhadap parameter e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-
teorema yang ada. f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah
ditetapkan.
6.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat- sifat tersebut antara lain:
a Sifat linear
Jika c
1
dan c
2
adalah sebarang konstanta, sedangkan
1
t F
dan
2
t F
adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing
1
s f
dan
2
s f
, maka:
} {
2 1
1 2
2 1
1
s f
c s
f c
t F
c t
F c
L
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
133
Bukti:
2 2
1 1
2 2
1
} {
} {
dt t
F c
t F
c e
t F
c t
F c
L
st
2 1
1 1
dt t
F c
e dt
t F
c e
st st
2 2
1 1
dt t
F e
c dt
t F
e c
st p
st
2 2
1 1
s f
c s
f c
1.
} 3
{ }
5 {
} 3
5 {
} 3
5 {
L t
L a
t L
t L
}
1 {
3 }
{ 5
L t
L
s s
1 3
1 5
2
s s
3 5
2
2.
} 2
cos 5
{ }
2 sin
6 {
} 2
cos 5
2 sin
6 {
t L
t L
t t
L
} 2
{cos 5
} 2
{sin 6
t L
t L
4 5
4 2
6
2 2
s s
s 4
5 12
2
s
s
3.
} 1
2 {
} 1
{
2 4
2 2
t t
L t
L }
1 {
} 2
{ }
{
2 4
L t
L t
L
} 1
{ }
{ 2
} {
2 4
L t
L t
L
s s
s 1
2 2
4
1 2
1 4
s s
s 1
4 24
3 5
4.
} 2
cos 2
4 sin
3 6
4 {
2 5
t t
t e
L
t
}
2 cos
2 {
} 4
sin 3
{ }
6 {
} 4
{
2 5
t L
t L
t L
e L
t
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
134
t L
t L
t L
e L
t
2 cos
2 4
sin 3
6 4
2 5
4 2
4 4
3 2
6 5
1 4
2 2
3
s
s s
s s
4 2
16 12
12 5
4
2 2
3
s
s s
s s
Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut.
1.
t
e t
t F
2
2
t 2.
t t
t F
2 cos
2 sin
6
3.
2
cos sin
t t
t F
4.
t t
t F
sinh 2
1 3
cosh
5.
2 2
t t
F
3
6.
2
3 sin
t t
F
b Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika
} {
} {
2
a s
f t
F e
L maka
s f
t F
L
t
Bukti Karena
`
} {
s f
dt t
F e
t F
L
st
, maka
`
} {
dt t
F e
e t
F e
L
at st
at
dt
t F
e
t a
s
a s
f
Contoh: 1. Tentukan
} {
} {
3
s f
t F
L jika
t F
e L
t
Menurut sifat 2 di atas,
} {
a s
f t
F e
L
at
Maka
3 }
{
3
s f
t F
e L
t
3
s
f
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
135
2. Tentukan
a
s f
t F
L jika
t F
e L
t
} {
}, {
2
Menurut sifat 2 di atas,
} {
a s
f t
F e
L
at
Karena
a s
f t
F e
L maka
a s
f t
F L
t
2 }
{ ,
} {
2
a a
s f
2
3. Tentukan
4 }
2 {cos
} {
2
s s
t L
jika t
F e
L
t
Karena
4 }
2 {cos
2
s s
t L
maka menurut sifat translasi pertama
1 }
{
s f
t F
e L
t
4 1
1 }
{
2
s s
t F
e L
t
5 2
1
2
s s
s
4. Tentukan
} 6
sin 5
6 cos
3 {
2
t t
e L
t
Me6nurut sifat linear,
} 6
sin 5
{ }
6 cos
3 {
} 6
sin 5
6 cos
3 {
2 2
2
t e
L t
e L
t t
e L
t t
t
}
6 sin
{ 5
} 6
cos {
3
2 2
t e
L t
L
t t
} Karena
36 6
} 6
{sin 36
} 6
{cos
2 2
s t
L dan
s s
t L
maka menurut sifat translasi
2 3
} 6
cos {
3
2
s f
t L
t
36 2
2 3
2
s s
, dan
2 6
5 }
6 sin
{ 5
2
s t
L
t
sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
136
L{e
36 2
6 5
36 2
2 3
} 6
sin 5
6 cos
3 {
2 2
2
s s
s t
t e
L
t
40 4
24 3
2
s s
s
Soal Tentukan transformasi Laplace fungsi
1
t e
t F
t 2
sin
2
3
1
t
te t
F
3
2 cosh
5 2
sinh 3
t t
t F
t
4
t
e t
t F
2
2
5
t t
e t
F
t
3 cosh
2 sinh
2
6
2 1
t e
t F
t
c. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Kategori