c. apakah
} {
F s
sf t
F L
berlaku untuk kasus ini
4 Tunjukkan bahwa
3
50 3
sin tdt te
t
5 Tunjukkan bahwa
} {
1
2 2
t t
u
e t
t L
s du
e u
u L
6 Perlihatkan bahwa
a.
a s
b s
t e
e L
bt at
ln
b.
2 2
2 2
ln 2
1 cos
cos a
s b
s t
bt at
L
7 Tunjukkan bahwa:
a.
s s
du u
u L
u
1 1
ln 1
1
1
b. Jika
} {
s f
t F
L
maka
2 1
1
s s
f du
u F
dt L
t t
6.4 Transformasi Laplace Invers
Definisi Jika transformasi Laplace suatu fungsi Ft adalah fs, yaitu jika
} {
s f
t F
L
maka Ft disebut suatu transformasi Laplace Invers dari fs. Secara simbolis ditulis
} {
1
s f
L t
F
.
1
L disebut operator transformasi Laplace invers.
Contoh. 1. Karena
t
e s
L
2
2 1
maka
2 1
2 1
s e
L
t
2. Karena
e t
s s
L 3
cos 3
2
maka
3 3
cos
2 1
s s
t L
3. Karena
a at
a s
L sinh
1
2 2
maka
2 2
1
1 sinh
a s
a at
L
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
147
Ketunggalan Transformasi Laplace Invers Misal Nt adalah suatu fungsi dan L{Nt} = 0 maka L{Ft+Nt} =
L{Ft} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama.
Contoh
t
e t
F
3 1
dan
1 1
3 2
t untuk
e t
untuk t
F
t
Mengakibatkan
3 1
} {
} {
2 1
1 1
s t
F L
t F
L
Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita
tidak dapat memperhitungkan fungsi-fungsi nol yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika maka ia adalah tunggal. Hasilnya
dinyatakan oleh teorema berikut. Teorema Lerch
Jika membatasi diri pada fungi-fungsi Ft yang kontinu secara sebagian-sebagaian dalam setiap selang berhingga 0
N t
dan eksponensial berorde untuk t N, maka inversi transformasi laplace
dari fs yaitu
1
t F
s f
L
, adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di
atas. Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa
fungsi sederhana dibawah ini. Nomo
r fs
} {
1
t F
x f
L
1.
s 1
1 2.
2
1 s
t 3.
,... 3
, 2
, 1
, ,
1
1
n s
n
n t
n
4.
a s
1
at
e
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
148
5.
2 2
1 a
s a
at sin
6.
2 2
a s
s
at cos
7.
2 2
1 a
s a
at sinh
8.
2 2
a s
s
at cosh
9.
2 2
2 2
2
a s
a s
at t cos
6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers
Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah: 1 Sifat Linear
Misal
1
c
dan
2
c
adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan
1
s f
dan
2
s f
berturut-turut adalah transformasi Laplace dari
1
t F
dan
2
t F
, maka:
} {
} {
} {
2 2
1 1
1 1
2 2
1 1
1
t F
c L
t F
c L
t F
c t
F c
L
}
{ }
{
2 2
1 1
1 1
t F
c L
t F
c L
} {
} {
2 1
2 1
1 1
t F
L c
t F
L c
2 2
1 1
s f
c s
f c
Contoh
9 12
9 3
9 12
3
2 1
2 1
2 1
s L
s s
L s
s L
9 1
12 9
3
2 1
2 1
s L
s s
L
3 3
sin 12
3 cos
3 t
t
2 Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika
} {
1
t F
s f
L
maka
} {
1
t F
e a
s f
L
at
Contoh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
149
t t
s L
3 sinh
9 1
2 1
maka
3 3
sinh 9
2 1
13 2
1
2 2
1 2
1
t e
s L
s s
L
t
3 Sifat translasi atau pergeseran kedua Jika
} {
1
t F
s f
L
maka
a t
untuk a
t untuk
at F
sf e
L
as
,0 ,
} {
1
Contoh
t s
L sin
1 1
2 1
maka
3 ,0
3 ,
3 sin
9
2 3
1
t untuk
t untuk
t
s e
L
s
4 Sifat pengubahan skala Jika
} {
1
t F
s f
L
maka
k t
F k
ks f
L 1
} {
1
Contoh Karena
t s
s L
cos 1
2 1
maka diperoleh
3 cos
3 1
1 3
3
2 1
t s
s L
5 Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan Jika
} {
1
t F
s f
L
maka
1 }
{
1 1
t F
t s
f ds
d L
s f
L
n n
n n
Contoh Karena
t s
L 2
sin 4
2
2 1
dan
2 2
2
4 4
4 2
s s
s ds
d
maka diperoleh
t t
t t
s s
L s
ds d
L
n n
2 sin
2 sin
1 4
4 4
2
2 2
1 2
1
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
150
6 Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan Jika
} {
1
t F
s f
L
maka
t t
F du
u f
L
s 1
Contoh Karena
t
e s
s L
s s
L
3 1
3 1
1 1
1 3
1 1
3 1
1 1
maka
diperoleh
` 1
3 1
1 3
1 3
1
1
t e
du u
u L
t
7 Sifat perkalian dengan
n
s
Jika
} {
1
t F
s f
L
maka
} {
1
t F
s sf
L
Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan Ft Jika
ft
, sehingga
} {
1
t F
F s
sf L
} {
1
t F
t F
s sf
L
dengan
t
adalah fungsi delta Dirac atau fungsi impuls satuan.
Contoh arena
t s
L 5
sin 25
5
2 1
dan
5 sin
t
maka
t t
dt d
s s
L 5
cos 5
5 sin
25 5
2 1
8 Sifat pembagian dengan s Jika maka
t
du u
F s
s f
L
1
Jadi pembagian dengan s berakibat mengakibatkan integral Ft dari 0 sampai dengan t.
Contoh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
151
Karena
t s
L 2
sin 4
2
2 1
maka diperoleh
1 2
cos 2
1 2
cos 2
1 2
sin 4
2
2 1
t u
du u
s s
L
t t
9 Sifat konvolusi Jika
} {
1
t F
s f
L
dan
} {
1
t G
s g
L
maka
G F
du u
t G
u F
s g
s f
L
t
} {
1
FG disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi.
Contoh Karena
t
e s
L
4 1
4 1
dan
t
e s
L
2 1
2 1
maka diperoleh
t t
u t
t u
e e
du e
e s
s L
4 2
2 4
1
2 4
1
6.6 Metode Transformasi Laplace Invers
