BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE
6.1 Transformasi Laplace
Definisi Misalkan
t F
suatu fungsi t dan t 0, maka transformasi Laplace dari Ft dinotasikan dengan L{Ft} yang didefinisikan oleh:
`
} {
s f
dt t
F e
t F
L
st
Karena
} {
t F
L
adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga
maka
`
} {
s f
dt t
F e
t F
L
st
p st
p
dt t
F e
Lim
Transformasi Laplace dari Ft dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka
transformasi Laplace tidak ada. Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar,
misalnya Wt, Gt, Yt dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L {Wt}
= ws, L {Gt} = gs, L {Yt} = ys dan seterusnya. Teorema
Jika Ft adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0
t N dan eksponensial berorde untuk t N, maka transformasi Laplace fs ada untuk setiap s
Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.
No.
t F
} {
t F
L
1. 1
, 1
s
s
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
127
2. t
, 1
2
s
s
3. t
2
, 2
3
s
s
4. t
n
n = 0,1,2,3,….
,
1
s s
n
n
5.
at
e ,
1
s
a s
6.
at sin
,
2 2
s a
s a
7.
at cos
,
2 2
s a
s s
8.
at sinh
a s
a s
a
,
2 2
9.
at cosh
a s
a s
s
,
2 2
10.
at t cos
2 2
2 2
a s
a s
11.
a at
t 2
sin
2 2
2
a s
s
Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi.
Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut: 1.
1
t F
`
1 }
{ s
f e
t F
L
st
p st
p
dt e
Lim
p st
p
e s
1 lim
1 1
lim se
se
p
s 1
0
s 1
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
128
s f
2.
t t
F
`
} {
dt t
e t
F L
st
st p
p
e d
s t
1 .
lim
dt e
te s
p st
st p
lim
1
p st
st p
e s
te s
1 lim
1
p sp
sp p
e s
e e
s pe
s 1
1 lim
1
s
s 1
1
s
s 1
1
2
1 s
3.
at
e t
F
`
} {
dt e
t e
t F
L
at st
dt e
p t
a s
p
lim
p t
a s
p
e a
s lim
1
1 1
lim 1
a s
a s
p
e e
a s
a s
1
4.
at t
F sin
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
129
dt e
t F
L
st
at
sin }
{
p
st p
at d
a e
Lim cos
1
p st
st p
e atd
a e
at a
Lim cos
1 .
cos 1
p
p st
st p
dt e
at a
s e
at a
Lim .
cos .
cos 1
p
st st
p
at d
a e
a s
e at
a Lim
sin 1
. .
cos 1
p p
st st
st p
e d
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. sin
sin .
cos 1
p
p st
st st
p
se at
at e
a s
e at
a Lim
2
. sin
sin .
cos 1
p
p st
st st
p
se at
a s
at e
a s
e at
a Lim
2 2
2
. sin
sin .
cos 1
p
st st
p
e at
a s
e at
a s
a a
Lim
2 2
2 2
. sin
. cos
1
st st
e a
at s
e a
at s
a a
. sin
. .
cos
2 2
2 2
1
2 2
2
a s
a a
a s
a a
1
2 2
2
2 2
s a
a
5.
at t
F cos
dt e
t F
L
st
at
cos }
{
p st
p
at d
a e
Lim sin
1
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
130
p st
st p
e atd
a e
at a
Lim sin
1 .
sin 1
p
p st
st p
dt e
at a
s e
at a
Lim .
sin .
sin 1
p
st st
p
at d
a e
a s
e at
a Lim
cos 1
. .
sin 1
p p
st st
st p
e d
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. cos
cos .
sin 1
p
p st
st st
p
dt se
at at
e a
s e
at a
Lim
2
. cos
cos .
sin 1
p
p st
st st
p
e at
a s
at e
a s
e at
a Lim
2 2
2
. cos
cos .
sin 1
p
st st
p
e at
a s
e at
a a
s a
Lim
2 2
2 2
. cos
. sin
1
st st
e a
at s
e a
at a
s a
. cos
. .
sin
2 2
2 2
2 2
2 2
a s
a s
a
2 2
2 2
a s
a s
a
2 2
a s
a
Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada Jika Ft adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap
selang berhingga 0
N t
dan eksponensial berorde untuk t N, maka transformasi Laplacenya fs ada untuk semua s .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada.
Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
131
6.2 Metode Transformasi Laplace
Kategori