} {sin
2 2
s f
a s
a at
L
Misal
at t
F sin
diperoleh
at a
t F
at a
t F
sin ,
cos
2
sehingga
{ 1
} {sin
2
t F
L a
at L
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan- turunan diperoleh
f F
sF s
sf a
at L
1 }
{sin
2
a
s a
s a
s a
1
2 2
2 2
a a
s as
a
2 2
2 2
1
2 2
3 2
2 2
1 a
s a
as as
a
2 2
a s
a
f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
Jika
} {
s f
t F
L
maka
s s
f du
u F
L
t
Bukti: Misal
t
du u
F t
G
maka
G dan
t F
t G
Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:
} {
} {
t F
L t
G L
}
{ }
{ s
f G
t G
sL
} {
s f
t G
sL
s s
f t
G L
} {
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
142
Jadi diperoleh
s s
f du
u F
L
t
Contoh 1. Carilah
t
du u
u L
sin
Misal
t t
t F
sin
Maka
s t
F L
1 arctan
} {
Sehingga menurut sifat transformasi di atas
s s
s s
f du
u u
L
t
1 arctan
1 sin
2. Buktikan
s s
du u
u L
t
1 arctan
1 sin
Bukti: Misal
sin
F maka
du u
u t
F
t
t t
t F
sin
dan
t t
tF sin
Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian
1 1
} {sin
} {
2
s
t L
t tF
L
1 1
2
s s
sf ds
d
ds s
s sf
1 1
2
C s
s sf
arctan
Menurut teorema harga awal, lim
F t
F s
sf Lim
t s
Sehingga diperoleh
2
c
. Jadi
s s
s sf
1 arctan
1
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
143
3. Buktikan
s s
du u
u L
t
2 1
ln cos
2
Bukti: Misal
du u
u t
F
t
cos
maka
t t
t F
cos
atau
t t
F t
cos }
{
}
cos {
} {
t L
t tF
L
1 1
1
2 2
s
s s
sf ds
d atau
s s
F s
sf ds
d
ds s
s s
sf 1
2
c s
1
ln 2
1
2
Menurut teorema harga akhir, ,
lim lim
t F
s sf
t s
sehingga c = 0. Jadi
1 ln
2 1
2
s
s sf
atau
s s
s f
2 1
ln
2
g. Perkalian dengan t
n
Jika
} {
s f
t F
L
maka
1 1
{ s
f s
f ds
d t
F t
L
n n
n n
n
Bukti. Karena
dt t
F e
s f
st
maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:
dt t
F e
ds d
s f
ds df
st
dt t
F e
s
st
dt t
F te
st
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
144
} {
dt t
tF e
st
} {
t tF
L
Jadi
} {
s f
ds df
t tF
L
Contoh 1. Tentukan
} sin
{ at
t L
Jawab
2 2
} {sin
a s
a at
L
, maka menurut sifat perkalian dari pangkat t
n
diperoleh
n n
n
ds s
f d
t tF
L 1
} {
, sehingga
2 2
1 }
sin {
a s
a ds
d at
t L
2 2
2
2 a
s as
2. Tentukan
} cos
{
2
at t
L
Menurut sifat di atas,
2 2
2 2
2 2
1 }
cos {
a s
s ds
d at
t L
2 2
2 2
2
a s
s a
ds d
3 2
2 2
3
6 2
a s
s a
s
h. Sifat pembagian oleh t
Jika
} {
s f
t F
L
maka
du
u f
t t
F L
Bukti: Misal
t t
F t
G
maka
t tG
t F
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
145
Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian,
maka diperoleh
bentuk
} {
} {
} {
t G
L ds
d s
f atau
t tG
L t
F L
atau
ds dg
s f
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh
ds dg
s f
.
s
du u
f s
g
s
du u
f
Jadi
du
u f
t t
F L
Soal-soal
1 Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan
a.
t t
t F
2 cos
b.
t t
t F
3 sin
c.
5 cos
2 2
sin 3
t t
t t
F
d.
t t
t F
sin
2
e.
t t
t t
F 3
sin 2
3
2
f.
t t
t F
cos
3
g.
t t
t F
2
sin
2 Jika
1
,0 1
0,
2
t t
t tF
Carilah
} {
t F
L
3 Diketahui
1
, 1
, 2
t t
t t
t F
a. carilah
} {
t F
L
b. carilah
} {
t F
L
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo
146
c. apakah
} {
F s
sf t
F L
berlaku untuk kasus ini
4 Tunjukkan bahwa
3
50 3
sin tdt te
t
5 Tunjukkan bahwa
} {
1
2 2
t t
u
e t
t L
s du
e u
u L
6 Perlihatkan bahwa
a.
a s
b s
t e
e L
bt at
ln
b.
2 2
2 2
ln 2
1 cos
cos a
s b
s t
bt at
L
7 Tunjukkan bahwa:
a.
s s
du u
u L
u
1 1
ln 1
1
1
b. Jika
} {
s f
t F
L
maka
2 1
1
s s
f du
u F
dt L
t t
6.4 Transformasi Laplace Invers
