Rancangan Penelitian Diagram Alir Penelitian Pergerakan objek dalam medan gravitasi

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Rancangan Penelitian

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam memodifikasi rumus gravitasi Newton dan persamaan kosmologi, yaitu : 1. Merumuskan metrik Schwarzschild dalam relativitas umum dengan mensubstitusikan garis geodesik dalam ruang-waktu lengkung. 2. Mengkontruksi persamaan geodesik dalam metrik Schwarzschild 3. Membandingkan hasil rumus dengan rumus gravitasi Newton klasik yaitu gerak melingkar planet. 4. Dihasilkan sebuah rumus untuk menjelaskan presesi perihelion gerak melingkar planet dalam relativitas umum. 5. Transformasikan metrik Schwarzschild kedalam ruang-waktu datar dengan asumsi r , φ dan t mewakili koordinat ruang-waktu datar. 6. Mengkontraksi hasil persamaan geodesik ruang-waktu datar kedalam bentuk relativistik 7. Setelah itu dibandingkan kedalam rumus gravitasi Newton klasik. 8. Dihasilkan rumus gravitasi Newton yang relativistik. Universitas Sumatera Utara

3.2 Diagram Alir Penelitian

Mulai Metrik Schwarzschild dalam ruang- waktu lengkung Garis geodesik Rumus gerak melingkar Newton Persamaan presesi perihelion planet Transformasi Metrik Schwarzschild ke ruang-waktu datar Selesai Rumus gravitasi Newton klasik Modifikasi rumus gravitasi Newton Universitas Sumatera Utara BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pergerakan objek dalam medan gravitasi

Menurut relativitas umum, Geodesik Schwarzschild menjelaskan gerak partikel dengan massa m dalam medan gravitasi bermassa M sebagai pusat diam. Efek relativitas dapat diperhitungkan apabila massa m berberapa kali lipat lebih kecil dari pusat massa M. Solusi untuk persamaan medan Einstein adalah metrik Schwarzschild, yang sesuai dengan medan gravitasi dimana tidak ada muatan, tidak berotasi, berbentuk bola simetris dengan pusat massa M. Solusi Schwarzschild dapat ditulis sebagai : = − � − − � − − � � + � 4.1 Dengan � = , lalu menyederhanakan persamaan dengan menggunakan simetri untuk menghilangkan satu variable dari persamaan. Karena metrik Schwarzschild berbentuk simetris, yaitu � = � , kemudian dapat disederhanakan menjadi = − � − − � − − � 4.2 Dengan mensubstitusi persamaan 4.2 pada persamaan garis geodesik yang dijelaskan pada lampiran B, kita dapatkan hasil berupa dua konstanta gerak − � = � 4.3 � = 4.4 Terdapat dua konstanta gerak, yaitu � adalah energi total dan L adalah momentum sudut dari massa unit. Dengan mengasumsikan ε = 1, selanjutkan kita defenisikan = � 4.5 Dan � = − � 4.6 Dengan τ adalah waktu eigen dan t koordinat waktu. Dengan mensubstitusikan persamaan 4.5 pada persamaan 4.4, maka didapatkan Universitas Sumatera Utara � � = � � = 4.7 Kita disini membicarakan gerak partikel dengan sebuah massa didalam medan gravitasi. Menurut persamaan 4.5, kita dapat menulis persamaan 4.2 dengan membagi semua suku terhadap ds 2 menjadi = − � − − � − − � 4.8 = − � � − − � − � − � � 4.9 Mengingat persamaan 4.6 dan 4.7, � = − � dan � � = 4.10 Persamaan 4.9 dapat ditulis sebagai − � − � − − − � − � − = 4.11 Kemudian semua variabel dikali dengan − �⁄ maka menjadi − � − − � = − � 4.12 � = � − − � � = � − + � 4.13 � = � − � + 4.14 Dengan menghitung ruas kiri dari persamaan 4.13 � � = � � � = � � 4.15 Dan mensubstitusikan persamaan 4.15 pada ruas kanan dari persamaan 4.13 � � = � � − + � 4.16 � = � − + � � = − � + − � � = − � + − � 4.17 Maka akan menjadi Universitas Sumatera Utara � − = − � − � 4.18 � − = − � + 4.19 Mengingat bahwa dalam teori gravitasi Newton klasik, pada arah ̅ dan ̅ � dalam sistem koordinat bidang polar, persamaan gerak parsial secara individual adalah � � = − � 4.20 Kemudian didefenisikan = . � � = − = = − � 4.21 Dimana α= , lalu � � = = − � 4.22 Maka persamaan 4.20 dapat ditulis sebagai − � = − � 4.23 Disubstitusikan pers 4.7 ke pers 4.23, maka diperoleh − = − � − = − � 4.24 Bandingkan persamaan diatas dengan persamaan 4.19, dengan mengasumsikan t  τ , dan pengecualian suku yang terdapat dalam tanda kurung, maka kita dapat melihat bahwa bentuk persamaan 4.24 dan persamaan 4.19 persis sama. Jadi persamaan 4.19 dapat di terapkan kedalam rumus gravitasi Newton klasik = − 4.25 Sisi kanan persamaan diberi tanda minus karena antara dua benda saling tarik menarik oleh gravitasi. Kita dapat menuliskan persamaan 4.25 diatas sebagai persamaan vektor mengikut persamaan 4.19 sebagai berikut : � = − + 4.26 Dengan : G = Konstanta gravitasi , − . � M = Massa benda diam kg m = Massa benda bergerak kg L = Momentum sudut kg m 2 s Universitas Sumatera Utara r = Jarak antara dua massa m Kemudian mengikuti persamaan 4.7, persamaan 4.26 diatas dapat diubah menjadi � = � � = − + � = − + 4.27 Dapat dilihat pada rumus diatas, variabel � sebagai koordinat bujur dalam radian. Rumus ini bisa digunakan untuk menjelaskan presesi perihelion planet dalam medan gravitasi. Semakin pendek jarak planet terhadap massa pusat, maka presesi penyimpangan = Δ� akan semakin besar. Di dalam tata surya presesi perihelion Merkurius adalah paling besar, juga karena jarak berdekatan dengan matahari maka efek lengkungan gravitasi begitu kuat. Gambar 4.1 Dinamika Presesi Perihelion Planet

4.2 Modifikasi rumus gravitasi Newton