Berberapa konsekuensi kelengkungan ruang yang membedakan antara ruang Riemann dan ruang Euclid adalah
1. Jumlah sudut dalam segitiga dengan sisi segitiga merupakan penghubung
terpendek antara titik sudutnya tidak sama dengan 180 .
2. Perbandingan antara keliling dengan diameter lingkaran ≠ .
3. Garis penghubung terpendek antara dua titik tidak berbentuk garis lurus
melainkan garis melengkung. 4.
Dua garis sejajar lokal dapat berpotongan. Ilustrasi antara ruang datar dan ruang lengkung dua dimensi terdapat pada gambar
2.3 dan gambar 2.4
Gambar 2.3 Ruang 1 dimensi a datar dan b lengkung
Gambar 2.4 Ruang 2 dimensi a datar dan b lengkung
2.3 Metrik Schwarzschild
Karl Schwarzschild adalah seorang ilmuan astronomi Jerman yang pertama kali memecahkan persamaan medan gravitasi Einstein secara eksak pada tahun
1916, yang dimaksud dengan pemecahan medan gravitasi Einstein adalah beliau mendapatkan komponen-komponen tensor metrik
� dari kuadrat metriknya
2
Universitas Sumatera Utara
ruang waktu lengkung yang memenuhi hubungan antara persamaan medan Einstein.
Metrik yang didapat Schwarzschild ini dalam teori kerelatifanya disebut dengan metrik Schwarzschild. Schwarzschild juga mempunyai hubungan yang
sangat erat dengan teori lubang hitam. Lubang hitam adalah sebuah pemusatan massa yang cukup besar sehingga menghasilkan gaya gravitasi yang sangat besar.
Gaya gravitasi yang sangat besar ini mencegah apapun lolos darinya kecuali melalui perilaku terowongan kuantum. Medan gravitasi begitu kuat sehingga
kecepatan lepas di dekatnya mendekati kecepatan cahaya. Tak ada sesuatu, termasuk radiasi elektromagnetik yang dapat lolos dari gravitasinya, bahkan cahaya
hanya dapat masuk tetapi tidak dapat keluar atau melewatinya, dari sini diperoleh kata “hitam”. Istilah lubang hitam telah tersebar luas, meskipun ia tidak menunjuk
ke sebuah lubang dalam arti biasa, tetapi merupakan sebuah wilayah di angkasa dimana semua tidak dapat kembali. Secara teoritis, lubang hitam dapat memliki
ukuran apa pun, dari mikroskopik sampai ke ukuran alam raya yang dapat diamati. Teori adanya lubang hitam pertama kali diajukan pada abad ke-18 oleh John
Michell and Pierre-Simon Laplace, selanjutnya dikembangkan oleh astronom Jerman bernama Karl Schwarzschild pada tahun 1916 dengan berdasar pada teori
relativitas umum dari Albert Einstein, dan semakin dipopulerkan oleh Stephen William Hawking. Pada saat ini banyak astronom seperti charis yang percaya
bahwa hampir semua galaksi dialam semesta ini mengelilingi lubang hitam pada pusat galaksi.
John Archibald Wheeler pada tahun 1967 yang memberikan nama Lubang Hitam sehingga menjadi populer di dunia bahkan juga menjadi topik favorit para
penulis fiksi ilmiah. Kita tidak dapat melihat lubang hitam, akan tetapi kita bisa mendeteksi materi yang tertariktersedot ke arahnya. Dengan cara inilah, para
astronom mempelajari dan mengidentifikasikan banyak lubang hitam di angkasa lewat observasi yang sangat hati-hati sehingga diperkirakan di angkasa dihiasi oleh
jutaan lubang hitam. Hasan, Nailul, 2005
Universitas Sumatera Utara
2.4.1 Persamaan Geodesik
Jalur terpendek antara dua titik dalam ruang melengkung dapat ditemukan dengan menulis persamaan untuk panjang kurva, dan kemudian meminimalkan panjang ini
menggunakan kalkulus variasi. Ini memiliki beberapa masalah teknis kecil, karena ada ruang dimensi yang tak terbatas. Diperlihatkan dalam gambar 2.3, andaikan
kurva =
menghubungkan titik A dan B dengan koordinat A dan B masing- masing diberikan oleh
= dan
= .
Gambar 2.4. Garis geodesik dalam 2 dimensi Maka persamaan geodesik diberikan oleh
+ � =
2.26 Penjumlahan pada indeks-indeks
, = , , … , , dimana s adalah panjang busur dan
adalah simbol Christoffel dari jenis kedua. Untuk kasus bagaimana persamaan geodesik untuk koordinat kartesius di ruang Euklidean. Jika jaraknya
konstan maka turunannya nol, dan simbol Christoffelnya juga nol. Akibatnya, persamaan geodesiknya menjadi
2.27
2.4.2 Solusi Schwarzschild
Metrik ruang-waktu 4 dimensi dicirikan oleh koordinat yang terdiri dari 1 koordinat waktu dan 3 koordinat ruang akan dirumuskan dalam wakilan koordinat bola.
Sebagai contoh ruang Minkowski dicirikan oleh koordinat x
a =
x , x
1
, x
2
, x
3 =
t, r, θ, �.
Universitas Sumatera Utara
Metrik ruang-waktu datar dalam wakilan koordinat bola diberikan oleh = −
+ +
� + � �
2.28 Mengikuti penulisan Weinberg 1972, nilai c sementara diisikan sama dengan 1
sehingga metrik diatas menjadi = −
+ +
� + � �
2.29
Gambar 2.5. Sistem Koodinat Bola Selanjutnya akan ditinjau metrik untuk medan gravitasi isotropik statik. Tensor
metrik untuk medan tersebut, yang dalam hal ini komponen g
tt
dan g
rr
hanya merupakan fungsi radial r. Bentuk metriknya menjadi
= − +
+ � +
� � 2.30 dimana metrik di atas akan kembali ke metrik Minkowski jika sumber medan
gravitasi diabaikan. Dari metrik di atas, komponen tensor metrik kovarian yang tak lenyap adalah:
� = − , � =
, �
��
= , �
��
= � 2.31
Dengan fungsi dan
ingin didapatkan untuk menyelesaikan persamaan medan gravitasi. Selanjutnya syarat batas untuk A dan B adalah bahwa untuk r
→ ∞, bentuk metrik isotropik statik tersebut harus kembali ke bentuk metrik
Minkowski dalam koordinat bola. lim
→∞
= lim
→∞
= 2.32
Dengan syarat batas ini hubungan antara A r dan B r dapat dituliskan secara lebih eksplisit dalam bentuk
Universitas Sumatera Utara
=
�
2.33 Untuk jarak yang cukup jauh dari pusat massa m yang terletak di pusat koordinat
O, komponen � = − harus bernilai mendekati −1+2U dengan U adalah
potensial Newtonian benda bermassa M pada jarak r yang bernilai = −
. Jadi dapat ditulis sebagai
= − + =
− 2.34
dan juga, =
−
−
2.35 Akhirnya bentuk metrik isotropik statik untuk ruang-waktu 4 dimensi berkoordinat
bola adalah: = −
− +
−
−
+ θ +
θ � 2.36 Bentuk metrik ini pertama kali diturunkan oleh K. Schwarzschild pada tahun 1916.
Karena itu, metrik ini sering disebut metrik Schwarzschild. Bentuk metrik tersebut masih mengisi nilai c=1. Apabila nilai c diisikan kedalam persamaan, bentuk metrik
Schwarzschild menjadi: = −
− +
−
−
+ θ +
θ � 2.37 Dengan
= , bersatuan panjang maka metrik di atas menjadi:
= − −
+ −
−
+ θ +
θ � 2.38 Dari persamaan 2.23 tampak bahwa metrik tersebut valid untuk
� = =
2.39 Dengan: ds
= Jarak terdekat antara peristiwa yang terjadi pada ruang Minkowski.
α = Radius Schwarzschild G
= Tetapan gravitasi 6.673 10x
−11
Newton m
2
s
2
c = Kecepatan cahaya 3 x 10
8
ms M
= Massa Benda
Universitas Sumatera Utara
Jari-jari Schwarzschild tersebut membentuk horizon peristiwa yang memisahkan dua daerah:
I. 2m r ∞
II. 0 r 2m
Wilayah I disebut wilayah lubang hitam sedangkan titik r = 0 disebut titik singularitas intrinsik.
Beberapa karakteristik penting dari solusi Schwarzschild adalah: 1.
Partikel yang bergerak menuju titik singularitas akan merasakan tarikan gravitasi yang sangat kuat.
2. Partikel termasuk cahaya tidak ada yang mampu keluar dari wilayah I
batas horizon peristiwa. Partikelcahaya yang bergerak radial keluar tidak akan pernah menembus horizon peristiwa.
3. Cahaya atau sinyal yang dipancarkan dari dekat horizon peristiwa wilayah
II akan mengalami pergeseran ketika diterima oleh pengamat yang jauh. Anugraha, R. 2005.
Universitas Sumatera Utara
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
