Linearisasi Teorema Differensiasi Teorema Integrasi

Linearisasi dan differensiasi serta teorema integrasi adalah penting untuk mentransformasikan persamaan differensial menjadi persamaan aljabar. Hasil akhir dari teorema ini sangat berguna untuk memprediksi hasil keadaan steady state dari fungsi waktu dari transformasi Laplace, dan teorema translasi berguna untuk hal yang berhubungan dengan fungsi waktu tunda. Sifat-sifat yang lain berguna untuk mendapatkan transformasi dari fungsi kompleks dari transformasi fungsi yang lebih sederhana seperti yang berada pada table 2.1. Tabel 2.1 Transformasi Laplace dari Fungsi Umum �� �� = �[��] �� 1 �� 1 � � 1 � 2 � � � � �+1 � −�� 1 � + � �� −�� 1 � + � 2 � � � −�� � � + � �+1 sin �� � � 2 + � 2 cos �� � � 2 + � 2 e −at sin �� � � + � 2 + � 2 e −at cos �� � + � � + � 2 + � 2 Sumber : Carlos A. S dan Armando B. C, 1997

2.1.1.1 Linearisasi

Universitas Sumatera Utara Linearisasi sangat penting untuk menyelesaikan transformasi Laplace ke dalam bentuk operasi Linear. Jika a adalah konstanta, maka : ℒ[���] = �ℒ[��] = ��� 2.2 Hal ini juga dapat dituliskan ke dalam bentuk penjumlahan : ℒ[��� + ���] = ��� + ��� 2.3 Di mana a dan b adalah konstanta.

2.1.1.2 Teorema Differensiasi

Teorema ini menentukan sebuah hubungan dari transformasi Laplace pada sebuah fungsi dan turunannya, adalah sangat penting dalam transformasi persamaan differensial dari persamaan aljabar. a. Variabel t Fungsi waktu � : ℒ � � �� � �� = � � �� � �� −�� �� ∞ = ∫ � −�� ��� → ∞ dengan integral parsial = � −�� ��| ∞ − � ��−�� −�� �� ∞ = −�0 + � � �� ∞ � −�� �� = ��� −f0 b. Variabel s �� = ℒ�� � �� � � = d ds � ��� −�� �� ∞ = � �� � �� � −�� �� ∞ Universitas Sumatera Utara = � ��−�� −�� �� ∞ = − ∫ ���� −�� �� ∞ � �� � � = −ℒ[ � ��] Dengan cara yang sama maka diperoleh : ℒ � � 2 �� 2 ��� = � 2 �� − ��0 − � �� � Secara umum dituliskan : ℒ � � � �� �� � � = � � �� − � �−1 �0 − ⋯ − � �−1 � �� �−1 | �=0 2.4 Pada proses pengendalian, normalisasi dimisalkan kondisi awal dalam keadaan steady state yaitu turunan dari waktu adalah nol dan bahwa variabel selisih dari kondisi awal nilai awal adalah nol.

2.1.1.3 Teorema Integrasi

Teorema ini menentukan kedua hubungan sebuah fungsi transformasi Laplace dan integral. Bentuknya adalah : ℒ �∫ ���� � � = 1 � �� 2.5 Bukti dari teorema ini adalah membawa integrasi defenisi dari transformasi Laplace. Transformasi Laplace dari integral ke-n sebuah fungsi ditransformasikan ke fungsi � � .

2.1.1.4 Teorema Translasi