Metoda Uraian pecahan Parsial Persamaan Differensial

ℒ[�� − � ] = � −�� �� 2.6 Persamaan ini menyatakan bahwa transformasi Laplace dari fungsi waktu ft yang ditranslasikan sebesar � sama dengan perkalian �� dengan � −�� .

2.1.2 Transformasi Laplace Balik

Proses matematik dalam mengubah ekspresi variabel kompleks menjadi ekspresi waktu disebut transformasi balik, dinotasikan sebagai ℒ −1 . Persamaannya adalah : ℒ −1 [ ��] = �� 2.7 Perhatikan bahwa metoda yang lebih sederhana untuk mencari transformasi Laplace balik ini adalah didasarkan pada kenyataan bahwa berlaku hubungan yang unik antara fungsi waktu dan transformasi Laplace balik, untuk setiap fungsi waktu yang kontinu, Smith, 1997

2.1.2.1 Metoda Uraian pecahan Parsial

Jika �� adalah transformasi Laplace dari ��, diuraikan atas komponen- komponennya : �� = � 1 � + � 2 � + ⋯ + � � � dan jika transformasi Laplace balik dari � 1 �, � 2 �, … , � � � telah tersedia, maka : ℒ −1 [ ��] = ℒ −1 [ � 1 �] + ℒ −1 [ � 2 �] + ⋯ + ℒ −1 [ � � �] = � 1 � + � 2 � + ⋯ + � � � 2.8 di mana � 1 �, � 2 �, … , � � � masing-masing adalah transformasi Laplace balik dari � 1 �, � 2 �, … , � � �. Untuk masalah dalam sistem pengendalian, �� sering mempunyai bentuk : Universitas Sumatera Utara �� = �� �� di mana �� dan �� adalah polynomial dalam s, dan derajat �� tidak lebih tinggi dari ��. Untuk mencari transformasi Laplace balik dari ��, terlebih dahulu mengetahui akar-akar polynomial penyebut ��, Katsuhiko, 1995

2.1.2.2 Persamaan Differensial

Persamaan Differensial P.D adalah persamaan yang mengandung suku-suku variabel bebas dan tidak bebas di mana terdapat bentuk differensial turrunan. Persamaan differensial dapat dikelompokkan sebagai berikut : 1. Persamaan Differensial Parsial 2. Persamaan Differensial Biasa : - Persamaan Differensial Biasa tidak linear - Persamaan Differensial Biasa linear dengan koefisien variabel dan koefisien konstan. Selanjutnya koefisien konstan dibagi atas homogen dan non homogen. Sebuah persamaan disebut Persamaan Differensial parsial jika didalam persamaan tersebut terdapat lebih dari satu variabel bebas, yang disebut sebagai Persamaan Differensial Biasa. Perhatikan persamaan berikut : � 2 � �� 2 + �� = � 2 2.9 � 2 � �� 2 + 10 �� �� + 3 = 0 2.10 Pada persamaan 2.9, variabel bebas adalah x dan t sedangkan y adalah variabel tidak bebas. Pada persamaan 2.10, variabel bebas adalah t. Persamaan differensial ini dapat ditetapkan dalam kebanyakan sistem pengontrolan. Orde tingkat sebuah persamaan differensial adalah tingkat dari turunan derivatif tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut; sedangkan derajat sebuah persamaan differensial adalah eksponen pada turunan tertinggi tersebut dinaikkan, Sahat, 1994 Universitas Sumatera Utara

2.1.2.2 Solusi Persamaan Differensial Dengan Metoda Transformasi Laplace