Proses Adiabatik Dalam Sistem Termal

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Proses Adiabatik Dalam Sistem Termal

Pada tangki yang teraduk dengan baik, diasumsikan bahwa aliran volume masukan dan keluaran Q, kerapatan jenis cairan �, dan kapasitas panas C adalah konstan. Cairan ini juga diasumsikan teraduk dengan baik dan tangki diisolasi agar tidak ada kehilangan panas terhadap lingkungan. Energi dari proses pengadukan juga diabaikan, sehingga diperoleh persamaan seperti pada gambar 4.1 di bawah ini : �, � � , � � � �, �, �� Gambar 4.1 Proses Termal �� � ℎ � � − ��ℎ� = �[����] �� 4.1 di mana, � = aliran volume, � 3 � V Universitas Sumatera Utara � � , � = kerapatan jenis cairan masuk dan keluar, kgm 3 � = volume cairan, m 3 ℎ � �, ℎ� = entalphi cairan masuk dan keluar, Jkg �� = energi dalam cairan di dalam tanki, Jkg Pada temperatur akhir, digunakan tetapan murni cairan untuk �� dan ℎ� yaitu pada suhu 32 o C dan tekanan pada sistem, dituliskan sebagai berikut : �� � � �� � � � − ��� � �� = �[��� � ��] �� 4.2 Dengan, � �� , � � = kapasitas panas cairan yang masuk dan keluar pada tekanan konstan, Jkg o C � � = kapasitas panas cairan pada volume konstan, Jkg o C � � �, �� = suhu cairan masuk dan keluar, o C Karena kerapatan jenis dan kapasitas panas diasumsikan konstan pada selang temperatur yang lama, persamaan 4.2 menjadi : ��� � � � � − ��� � �� = ��� � �[��] �� 4.3 Persamaan ini merupakan persamaan differensial orde pertama yang menyatakan hubungan dari temperatur masukan dan keluaran. Penting untuk diingat bahwa hanya ada satu temperatur yang tidak diketahui yaitu temperatur keluaran, ��. Suhu masukan, � � �, merupakan variabel masukan yang memaksa temperatur keluaran berubah. Untuk menunjukkan bahwa ada satu persamaan yang salah satunya tidak diketahui, secara eksplisit dituliskan sebagai berikut : ��� � � � � − ��� � �� = ��� � �[��] �� Universitas Sumatera Utara Persamaan di atas merupakan model matematik untuk proses termal ini. Solusi persamaan differensial ini menghasilkan respon suhu keluaran sebagai fungsi dari waktu. Sesuai yang telah disebutkan, suhu masukan adalah variabel input yang sering disebut sebagai fungsi paksaan karena variabel ini yang memaksa perubahan pada suhu keluaran. Temperatur keluaran adalah variabel output yang sering disebut sebagai fungsi tanggapan karena merupakan variabel yang menanggapi perubahan fungsi paksaan atau variabel input. Untuk menentukan fungsi alih dari persamaan di atas dari hubungan �� dan � � �, kita akan merubah variabel yang disederhanakan untuk mengembangkan fungsi transfer yang dibutuhkan. Kita tulis keseimbangan energi dalam keadaan mantap tangki pada keadaan awal, yaitu : ��� � �� � − ��� � �� = 0 4.4 mengurangkan persamaan ini dari persamaan 4.3 menghasilkan : ��� � [ � � � − �� � ] − ��� � [ �� − � �] = ��� � �[��−��] �� 4.5 dan turunan suhunya : �[��−��] �� = ��� �� − ��� �� = ��� �� − 0 4.6 Persamaan ini akan membantu dalam membuktikan defenisi variabel penyimpanngan dan pengembangan fungsi transfer. Variabel penyimpangan pada persamaan di atas : �� = �� − �� 4.7 � � � = � � � − � � � 4.8 Dengan � ̅ �, � � � = Nilai awal keadaan mantap temperatur masukan dan keluaran, o C. ��, � � � = Variabel penyimpang temperatur masukan dan keluaran, o C. Substitusikan kedua persamaan di atas ke dalam persamaan 4.5, menjadi : Universitas Sumatera Utara ��� � � � � − ��� � �� = ��� � ��� �� 4.9 Persamaan 4.9 sama dengan persamaan 4.3 kecuali yang telah tertulis di dalam variabel penyimpang. Solusi dari persamaan ini menghasilkan variabel simpangan �� terhadap waktu untuk suatu input tertentu, � � �. Jika temperatur keluaran yang sebenarnya �� dikehendaki, nilai keadaan mantap �� harus ditambahkan ke ��, sesuai dengan persamaan 4.7. Persamaan 4.9 kita bagi dengan ��� � , maka : ��� � ��� � ��� �� + �� = � � � , kita misalkan : ��� � ��� � = � , sehingga persamaan di atas menjadi : � ��� �� + �� = � � � 4.10 Satuan dari � adalah : � = �� 3 ���� � 3 ⁄ �[� ��− � �] ⁄ [ � 3 �][�� � 3 ⁄ ][ � ��− � �] ⁄ = �����. Karena persamaan 4.10 merupakan persamaan differensial linear, ditransformasikan ke transformasi Laplace : ℒ � � �� ��� = � � �� ∞ ��� −�� �� = ∫ � −�� � ∞ �� → ������ �������� �������� = � −�� �� ] − ∫ ��−� ∞ � � ∞ � −�� �� ℒ � � �� ��� = −�0 + � � ��� −�� �� ∞ = ��� − �0 Universitas Sumatera Utara Sehingga diperoleh : ���� − ��0 + �� = � � � dengan nilai awal temperatur , �0, adalah �� , maka �0 = 0, menjadi ���� + �� = � � � ���� + 1 = � � � �� = � ��+� � � � 4.11 Persamaan 4.11 merupakan persamaan yang menunjukkan perubahan suhu keluaran yang diubah ke dalam transformasi Laplace. Atau, �� � � � = � ��+� 4.12 Persamaan 4.12 adalah fungsi alih yang diinginkan. Persamaan ini disebut fungsi alih orde pertama karena dikembangkan dari persamaan differensial orde pertama. Proses ini sering disebut sebagai proses orde pertama. Jika suhu masuk � � � dinaikkan � � �, maka suhu masukan mengalami perubahan sebesar � � �. � � � = �� � t 0 � � � = �� � + � t ≥ 0 maka : � � � = ��� ⇒ � � � = � � di mana �� merupakan besarnya perubahan pada masukan dan � � � adalah suhu masukan yang ditambahkan sebesar A o C yang diubah ke dalam transformasi Laplace. Dari persamaan 4.11 : �� = � ��+� � � � �� = � ��+� � � Universitas Sumatera Utara �� = � ���+� = � 1 ��+� + � 2 � � 1 = lim �→−1 �� + 1 1 ��+1 = −1 � 2 = lim �→0 � 1 ��+�� = 1 �� = −� ��+� + � � 4.13 Persamaan 4.13 merupakan transformasi Laplace untuk suhu keluaran. Sehingga diperoleh : �� = �1 − � −� � ⁄ 4.14 Dari : �� = �� − �� �� = �� + �� �� = �1 − � −� � ⁄ + �� 4.15 Pada saat � = � → �� = ��1 − � −� � ⁄ � = �1 − � −1 = 0,632 � Yaitu , untuk langkah perubahan pada variabel masukan, waktu konstan menunjukkan waktu yang diperlukan variabel keluaran mencapai 63,2 dari total perubahan. Oleh karena itu, waktu konstan berhubungan dengan kecepatan proses respon. Semakin lambat proses merespon masukan maka semakin besar nilai � dan sebaliknya, semakin cepat proses merespon masukan, maka nilai � semakin kecil.

4.2 Proses Nonadiabatik Dalam Sistem Termal