3
digunakan Algoritme Floyd’s Cycle-Finding dengan membandingkan elemen- elemen
sampai sehingga pasangan
= ditemukan. Selanjutnya
Birthday Paradox digunakan untuk menjamin bahwa mulai adanya satu atau lebih bilangan yang sama dalam barisan bilangan sedikitnya setelah langkah ke-
√ √ ln dengan peluang lebih dari setengah. Misalkan
∗
adalah grup siklik dibawah operasi perkalian berorder =
− , =∏ ,
adalah bilangan prima berbeda dan . Ide dari
Algoritme Pohlig Hellman untuk menentukan masalah logaritma diskret log
mod adalah menemukan
mod , dengan terlebih dahulu menentukan
mod ,untuk setiap , , menggunakan Teorema Sisa
Cina. Artinya komputasi dilakukan pada subgrup berorder prima berpangkat integer positif
. Kekuatan Algoritme Index Calculus terletak pada faktorisasi polinomial,
idenya adalah dengan memilih subset dari
∗
sebagai faktor basis sedemikian sehingga elemen-elemen
∗
secara efisien dapat dinyatakan sebagai produk elemen-elemen .
Algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard’s rho, Pohlig Hellman, dan Index Calculus dieksplorasi untuk menentukan masalah logaritma
diskret pada grup multiplikatif
∗
dan diimplementasikan dengan bantuan sofware Maple 11.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah : 1.
Mengkaji secara teoritik masalah logaritma diskret pada finite field .
2. Merekonstruksi algoritme-algoritme yang berhubungan dengan masalah
logaritma diskret pada finite field .
3. Mengimplementasikan algoritme hasil rekonstruksi dengan bantuan software
Maple 11.
4
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah algoritme hasil rekonstruksi bisa digunakan untuk mengukur tingkat keamanan dari algoritme kriptografi yang
aspek keamanannya bertumpu pada masalah logaritma diskret.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi, teorema dan sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan, integer modulo , aljabar
abstrak, masalah logaritma diskret, sistem persamaan linear, dan kompleksitas waktu asimptotik sebagai landasan teori untuk penulisan tugas akhir ini.
2.1 Teori Bilangan Definisi 2.1.1 Misalkan ,
integer. membagi
notasi | jika terdapat
integer sedemikian sehingga = .
Definisi 2.1.2 Jika dan adalah integer dengan
, maka pembagian oleh
menghasilkan integer hasil pembagian dan
sisa pembagian sehingga =
+, dimana . Sisa pembagian dinotasikan
mod dan hasil pembagian dinotasikan
div Menezes et al. 1997.
Definisi 2.1.3 Suatu integer dikatakan sebagai pembagi bersama dari
dan , jika
| dan | Menezes et al. 1997.
Definisi 2.1.4 Suatu integer non-negatif
disebut pembagi bersama terbesar gcd dari integer dan , dinotasikan
= gcd , , jika : 1.
adalah pembagi bersama dari dan 2.
jika | dan | , maka | Menezes et al. 1997.
Teorema 2.1.5 Algoritme Euclidean Diberikan integer
, . Berdasarkan algoritme pembagian, dapat dibentuk barisan persamaan berikut :
= + ,
= + ,
= + ,
= + ,
=
6 dengan
= gcd , , yang merupakan sisa terakhir tak nol dari proses pembagian. Nilai dari
dan dari
, = +
dapat diperoleh dengan menuliskan setiap
sebagai kombinasi linear dari dan Lestari 2007.
Definisi 2.1.6 Integer dan
dikatakan prima relatif atau koprima jika gcd , = Lestari 2007.
Definisi 2.1.7 Fungsi- ∅ Euler Untuk
, didefinisikan ∅
adalah banyaknya integer pada selang
[ , ] yang prima relatif dengan . Fungsi ∅ disebut fungsi-
∅ Euler Menezes et al. 1997.
Teorema 2.1.8 Sifat-sifat fungsi- ∅ Euler
1. Jika prima, maka
∅ =
− . 2.
Fungsi- ∅ Euler bersifat multiplikatif. Artinya, jika gcd
, = maka
∅ = ∅
∅ 3.
Jika =
… adalah faktorisasi prima dari
, maka ∅
= −
− − Menezes et al. 1997.
Fakta 2.1.9 Teorema Dasar Aritmetika Setiap integer dapat difaktorkan
sebagai produk dari kuasa prima yang khas: =
… , dimana
adalah bilangan prima yang berbeda dan adalah integer positif
Menezes et al. 1997.
2.2 Integer Modulo
