Latar Belakang Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field G P(2m)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Logaritma adalah suatu operasi matematika kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Dalam persamaan = , dapat dicari dengan pengakaran, dengan logaritma, dan dengan pemangkatan. Contoh, berapakah pada persamaan = . dapat dihitung atau dicari dengan menggunakan tabel atau kalkulator yang sudah dilengkapi fitur , hasilnya adalah = . Bentuk persamaan = ini adalah suatu sistem aritmetik bilangan nyata ℝ, sistem aritmetik umum lainnya adalah grup siklik. Struktur aljabar dengan operasi biner ∗ yang memenuhi sifat assosiatif, terdapat unsur identitas dan setiap unsurnya memiliki invers disebut grup. Suatu grup yang mempunyai generator disebut grup siklik. Generator ini berperan dalam membangkitkan unsur-unsur grup siklik . Misalkan adalah generator grup siklik , berorder , maka = = { , , , … , = , … , }. Pada kasus = , disebut logaritma diskret. Jika diketahui dan , maka masalah bagaimana menentukan dikenal dengan istilah masalah logaritma diskret. Masalah logaritma diskret merupakan masalah yang didefinisikan pada aritmetika modular, sering dijadikan dasar pembangkitan sepasang kunci pada kriptografi kunci publik sebagai tumpuan keamanan. Contohnya pada pertukaran kunci Diffie-Hellman dan enkripsi Elgamal. Logaritma umum pasti akan tuntas secara komputasi, tetapi untuk logaritma diskret khusus berorder besar menentukannya tidak akan layak hitung sulit dihitung walaupun menggunakan kalkulator yang canggih. Tidak layak hitung itulah yang menyebabkan masalah logaritma diskret layak digunakan sebagai tumpuan keamanan dalam kriptogafi. Masalah logaritma diskret sering diterapkan pada grup siklik ℤ ∗ , prima. Diberikan bilangan prima , generator dari ℤ ∗ , dan ∈ ℤ ∗ . Dalam Menezes et al. 1997, definisi masalah logaritma diskret adalah menentukan , − sehingga mod . Berdasarkan definisi ini jika diberikan 2 generator dari ∗ , maka untuk sembarang ∈ ∗ terdapat suatu yang khas pada rentang − sedemikian sehingga : mod = ℤ [ ] adalah field dibawah operasi penjumlahan dan perkalian dalam modulo berorder , dengan polinomial irredusibel atas ℤ . ∗ adalah field tanpa elemen {0} membentuk grup dibawah operasi perkalian berorder − Menezes et al. 1997. Elemen-elemen grup multiplikatif ∗ dengan generator dalam bentuk representasi grup siklik adalah , , , … , = , … , . Menentukan masalah logaritma diskret menjadi sulit apabila digunakan grup ∗ dengan order besar. Karena itu diperlukan suatu teknik tertentu untuk menyelesaikannya. Beberapa teknik yang dapat digunakan untuk menentukan masalah logaritma diskret ini adalah Algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard’s rho, Pohlig Hellman, dan Index Calculus. Dalam Menezes et al. 1997 kelima algoritme tersebut dikenakan pada grup siklik umum. sedangkan pada tulisan ini dikenakan pada sistem aritmatik grup multiplikatif ∗ . Ide dasar Algoritme Exhaustive Search untuk menentukan logaritma diskret adalah Definisi Masalah Logaritma Diskret, yaitu dengan mencoba setiap kemungkinan nilai , − , sampai ditemukan yang benar. Algoritme ini tidak efisien digunakan untuk grup multiplikatif ∗ berorder besar. Baby-Step Giant-Step adalah merupakan time-memory trade-off dari Algoritme Exhaustive Search yakni situasi dimana memori komputer digunakan untuk mengurangi biaya dan waktu eksekusi program. Representasi polinomial akan disimpan di memori komputer sebanyak √ , adalah order ∗ . Semakin besar maka representasi polinomial yang disimpan di memori komputer semakin banyak juga. Ide dasar algoritme ini adalah membagi dengan suatu representasi polinomial , =√ , hingga ditemukan salah satu representasi polinomial yang disimpan di memori komputer. Ide dasar Algoritme Pollard’s rho adalah menemukan cycle dalam barisan { , , , … , }. Untuk menemukan cycle dalam barisan { , , , … , } 3 digunakan Algoritme Floyd’s Cycle-Finding dengan membandingkan elemen- elemen sampai sehingga pasangan = ditemukan. Selanjutnya Birthday Paradox digunakan untuk menjamin bahwa mulai adanya satu atau lebih bilangan yang sama dalam barisan bilangan sedikitnya setelah langkah ke- √ √ ln dengan peluang lebih dari setengah. Misalkan ∗ adalah grup siklik dibawah operasi perkalian berorder = − , =∏ , adalah bilangan prima berbeda dan . Ide dari Algoritme Pohlig Hellman untuk menentukan masalah logaritma diskret log mod adalah menemukan mod , dengan terlebih dahulu menentukan mod ,untuk setiap , , menggunakan Teorema Sisa Cina. Artinya komputasi dilakukan pada subgrup berorder prima berpangkat integer positif . Kekuatan Algoritme Index Calculus terletak pada faktorisasi polinomial, idenya adalah dengan memilih subset dari ∗ sebagai faktor basis sedemikian sehingga elemen-elemen ∗ secara efisien dapat dinyatakan sebagai produk elemen-elemen . Algoritme Exhaustive Search, Baby-Step Giant-Step, Pollard’s rho, Pohlig Hellman, dan Index Calculus dieksplorasi untuk menentukan masalah logaritma diskret pada grup multiplikatif ∗ dan diimplementasikan dengan bantuan sofware Maple 11.

1.2 Tujuan Penelitian