Integer Modulo Eksplorasi Masalah Logaritma Diskret pada Finite Field G P(2m)

6 dengan = gcd , , yang merupakan sisa terakhir tak nol dari proses pembagian. Nilai dari dan dari , = + dapat diperoleh dengan menuliskan setiap sebagai kombinasi linear dari dan Lestari 2007. Definisi 2.1.6 Integer dan dikatakan prima relatif atau koprima jika gcd , = Lestari 2007. Definisi 2.1.7 Fungsi- ∅ Euler Untuk , didefinisikan ∅ adalah banyaknya integer pada selang [ , ] yang prima relatif dengan . Fungsi ∅ disebut fungsi- ∅ Euler Menezes et al. 1997. Teorema 2.1.8 Sifat-sifat fungsi- ∅ Euler 1. Jika prima, maka ∅ = − . 2. Fungsi- ∅ Euler bersifat multiplikatif. Artinya, jika gcd , = maka ∅ = ∅ ∅ 3. Jika = … adalah faktorisasi prima dari , maka ∅ = − − − Menezes et al. 1997. Fakta 2.1.9 Teorema Dasar Aritmetika Setiap integer dapat difaktorkan sebagai produk dari kuasa prima yang khas: = … , dimana adalah bilangan prima yang berbeda dan adalah integer positif Menezes et al. 1997.

2.2 Integer Modulo

Definisi 2.2.1 Kongruensi dan adalah integer. dikatakan kongruen dengan modulo , ditulis mod , jika membagi habis − . Selanjutnya disebut modulus kongruensi Menezes et al. 1997. Teorema 2.2.2 Syarat-syarat Kekongruenan Untuk semua , , , , ∈ ℤ, hal-hal di bawah ini adalah benar. 1 mod jika dan hanya jika dan mempunyai sisa yang sama jika dibagi dengan . 2 refleksif mod 7 3 simetri Jika mod maka mod . 4 transitif Jika mod dan mod , maka mod . 5 Jika mod dan mod , maka + + mod dan mod Guritman et al. 2004. Definisi 2.2.3 Integer modulo , dinotasikan ℤ , adalah himpunan kelas ekuivalensi integer { , , , … , − } yang dikenai operasi penjumlahan dan perkalian diperlakukan dalam modulo . Untuk , , ∈ ℤ, + = ⇔ + mod = ⇔ mod Guritman et al. 2004. Definisi 2.2.4 Sistem Residu Lengkap Modulo Jika mod , maka disebut residu dari modulo . Selanjutnya himpunan = { , , … , } dinamakan sistem residu lengkap modulo jika untuk setiap integer terdapat satu dan hanya satu sedemikian sehingga mod Lestari 2007. Definisi 2.2.5 Sistem Residu Tereduksi Modulo Sistem residu tereduksi modulo adalah himpunan integer , dimana gcd , = , , jika ≠ . Selanjutnya setiap yang prima relatif dengan , kongruen dengan suatu pada himpunan tersebut Lestari 2007. Fakta 2.2.6 Invers Misalkan ∈ ℤ . memiliki invers jika dan hanya jika gcd , = Menezes et al. 1997. Definisi 2.2.7 Invers Multiplikatif Misalkan ∈ ℤ , Invers multiplikatif dari modulo adalah suatu integer ∈ ℤ sehingga mod . Faktanya tidak semua anggota ℤ mempunyai invers belum tentu ada. Dalam hal yang bersangkutan ada, maka disebut invertibel dan disebut invers dari , dinotasikan = Guritman et al. 1997. Definisi 2.2.8 Pembagian Misalkan , ∈ ℤ. Pembagian oleh modulo adalah perkalian dengan modulo , yang terdefinisi jika mempunyai invers modulo Menezes et al. 1997. 8 Definisi 2.2.9 Grup multiplikatif ℤ adalah ℤ ∗ = { ∈ ℤ | gcd , = }. Jika bilangan prima, maka ℤ ∗ = { | − }Menezes et al. 1997. Teorema 2.2.10 Solusi Persamaan kongruen Misal = gcd , . Persamaan kongruen mod mempunyai solusi jika dan hanya jika membagi , dalam hal ini terdapat tepat solusi antara 0 dan − ; solusi ini semua kongruen modulo Menezes et al. 1997. Teorema 2.2.11 Teorema Sisa Cina Jika , , … , merupakan integer yang prima relatif satu sama lain, , , … , adalah sembarang integer, maka sistem kongruensi mod mod mod … … ∗ mempunyai solusi unik modulo , = … Menezes et al. 1997. Algoritme 2.2.12 Algoritme Gauss’s Solusi dari sistem kongruensi Teorema 2.2.11 dapat dihitung sebagai =∑ mod , dimana = ⁄ dan = mod Menezes et al. 1997. Teorema 2.2.13 Misalkan adalah integer. i Teorema Euler Jika ∈ ℤ ∗ , maka ∅ mod . ii Jika adalah produk bilangan prima berbeda, dan jika mod ∅ , maka mod , untuk semua integer Menezes et al. 1997. Teorema 2.2.14 Misalkan prima, 1. Teorema Fermat Jika gcd , = , maka mod . 2. Jika mod − , maka mod , untuk semua integer . 3. Untuk setiap integer , mod Menezes et al. 1997.

2.3 Struktur Aljabar