15
Definisi 2.3.41 Misalkan V adalah ruang vektor atas , dan
= { , , … , } adalah himpunan berhingga vektor-vektor di dalam V. Untuk menyatakan bahwa
V adalah ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada himpunan B dituliskan = . Artinya ∀ ∈ , =∑
, adalah integer.
Definisi 2.3.42 Misalkan V adalah ruang vektor atas , dan B adalah himpunan
berhingga vektor-vektor di dalam V. Dikatakan B adalah basis untuk V jika B bebas linear dan V=
B Guritman 2005.
Teorema 2.3.43 Misal
perluasan field dari field ℤ dan ∈ algebraic atas
ℤ . Jika deg , ℤ = , maka ℤ
ruang vektor atas ℤ berdimensi- dengan
basis { , , , … ,
} Rosdiana 2009.
2.4 Masalah Logaritma Diskret
Definisi 2.4.1 Logaritma Diskret Misalkan grup siklik berorder
. generator , dan
∈ . Logaritma diskret dengan basis , dinotasikan log ,
adalah integer
unik ,
−, sedemikian hingga =
Menezes et al. 1997.
Teorema 2.4.2 Misalkan generator grup siklik
berorder , dan , ∈ .
Misal adalah sebuah integer. Maka
log =log
+ log mod , dan
log = log
mod Menezes et al. 1997.
Definisi 2.4.3 Masalah Logaritma Diskret Diberikan bilangan prima ,
generator dari ℤ
∗
, dan ∈ ℤ
∗
. Masalah logaritma diskret adalah menentukan , − sehingga
mod Menezes et al. 1997.
Definisi 2.4.4 Masalah Logaritma Diskret diperumum Diberikan grup siklik
berorder , generator
, dan ∈ . Masalah logaritma diskret adalah
menentukan , −, sehingga
= Menezes et al. 1997.
Lemma 2.4.5 Jika order dari modulo
adalah , maka , , , … ,
saling tidak kongruen modulo Lestari 2007.
16
Teorema 2.4.6 Misalkan
generator dari ℤ
∗
, maka untuk setiap ∈ ℤ
∗
terdapat integer yang khas pada rentang
∅ − sedemikian
sehingga mod Lestari 2007.
Teorema 2.4.7 Setiap unsur
∈ ,
prima, memenuhi = atau
ekivalen dengan akar dari persamaan = sehingga
− =∏
−
∈
Rosdiana 2009.
Lemma 2.4.8 Andaikan
adalah himpunan hingga dan diketahui ada fungsi :
→ . Dipilih ∈
untuk membangkitkan barisan , , , …, dengan
menggunakan iterasi =
untuk . Ada
, ∈ sehingga = untuk
≠ dan ada sehingga
= . Jika barisan
, , , … dibangkitkan oleh
= menggunakan iterasi
= untuk
maka hasilnya akan sama dengan barisan , , , … Safaat 2007.
Lemma 2.4.9 Andaikan bahwa , dan bilangan-bilangan
, , … , bebas dipilih dari himpunan {1, 2, …, }. Peluang bahwa setiap bilangan
berbeda adalah −
− … −
Safaat 2007.
2.5 Sistem Persamaan Linear
Definisi 2.5.1 Suatu persamaan linear dalam
peubah variabel adalah persamaan dengan bentuk
+ + +
= dimana
, , …,
dan adalah bilangan-bilangan real dan
, , …,
adalah peubah. Dengan demikian maka suatu sistem linear dari persamaan
dalam peubah adalah satu sistem berbentuk : +
+ + =
+ + +
= +
+ + =
dimana dan
semuanya adalah bilangan-bilangan real Leon 1998.
17
Definisi 2.5.2 Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika konstanta-
konstanta di ruas kanan semuanya nol. Sistem-sistem homogen selalu konsisten Leon 1998.
Teorema 2.5.3 Sistem persamaan linear homogen
× memiliki penyelesaian taktrivial jika
Leon 1998.
2.6 Algoritme Berlekamp’s Q-matrix
