8
Definisi 2.2.9 Grup multiplikatif
ℤ adalah ℤ
∗
= { ∈ ℤ | gcd , = }. Jika bilangan prima, maka
ℤ
∗
= { | − }Menezes et al. 1997.
Teorema 2.2.10 Solusi Persamaan kongruen Misal
= gcd , . Persamaan kongruen
mod mempunyai solusi jika dan hanya jika membagi , dalam hal ini terdapat tepat solusi antara 0 dan
− ; solusi ini semua kongruen modulo
Menezes et al. 1997.
Teorema 2.2.11 Teorema Sisa Cina Jika
, , … , merupakan integer yang
prima relatif satu sama lain, , , … ,
adalah sembarang integer, maka sistem kongruensi
mod mod
mod … … ∗
mempunyai solusi unik modulo , =
… Menezes et al. 1997.
Algoritme 2.2.12 Algoritme Gauss’s Solusi dari sistem kongruensi Teorema 2.2.11 dapat dihitung sebagai
=∑ mod , dimana
= ⁄ dan
= mod Menezes et al. 1997.
Teorema 2.2.13 Misalkan adalah integer.
i Teorema Euler Jika
∈ ℤ
∗
, maka
∅
mod . ii Jika
adalah produk bilangan prima berbeda, dan jika mod ∅ ,
maka mod , untuk semua integer Menezes et al. 1997.
Teorema 2.2.14 Misalkan prima,
1. Teorema Fermat Jika
gcd , = , maka mod .
2. Jika
mod − , maka mod , untuk semua integer .
3. Untuk setiap integer ,
mod Menezes et al. 1997.
2.3 Struktur Aljabar
Definisi 2.3.1 Operasi biner
∗ pada suatu himpunan adalah suatu fungsi dari × ke , yang membawa setiap ,
∈ × ke ∗
∈ yang unik. Jadi
9 ,
→ ∗. Karena ∗ juga berada dalam maka dikatakan tertutup di
bawah operasi ∗ Aliatiningtyas 2002.
Definisi 2.3.2 Grup Struktur aljabar dengan operasi biner
∗ disebut grup jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini,
1. operasi
∗ bersifat assosiatif ∗ ∗
= ∗ ∗ , ∀ , , ∈.
2. ada unsur identitas
∈ , untuk ∗ pada sehingga berlaku
∗ =
∗ =, ∀ ∈ .
3. untuk setiap
∈ ada unsur ∈ sehingga ∗
= ∗
= Aliatiningtyas 2002.
Definisi 2.3.3 Grup disebut grup komutatif jika operasi
∗ bersifat komutatif yaitu
∀ , ∈ ,
∗ =
∗Aliatiningtyas 2002.
Definisi 2.3.4 Grup Hingga dan Order Suatu grup dikatakan berhingga jika
banyaknya unsur berhingga. Banyaknya unsur dari grup hingga dinamakan order dari , dinotasikan
ℴ Aliatiningtyas 2002.
Definisi 2.3.5 Order dari Unsur Grup Misalkan
grup, dan ∈ . Order
notasi ℴ
adalah integer positif minimal sehingga
= . Jika tidak ada bilangan yang demikian, maka dikatakan order dari
tak hingga atau nol Aliatiningtyas 2002.
Toerema 2.3.6 Berikut ini 3 sifat dasar yang berkaitan dengan pengertian order.
1. Misalkan
grup, ∈ dan ℴ
= , maka ada tepat kuasa dari yaitu = , , , … ,
yang semuanya berbeda. 2.
Misalkan grup,
∈ . Jika ℴ tak hingga, maka semua kuasa dari
berbeda. Artinya, jika dan adalah dua integer yang berbeda, maka
≠ . 3.
Misalkan adalah unsur dari grup
dan ℴ
= . Maka = jika dan hanya jika
adalah kelipatan dari kelipatan
artinya ada integer sehingga
= Aliatiningtyas 2002; Guritman 2004.
10
Definisi 2.3.7 Subgrup Misalkan
grup dan ⊆ . Maka disebut subgrup
dari jika
grup dibawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada . Notasi :
⊴ Aliatiningtyas 2002.
Definisi 2.3.8 Grup Siklik Suatu grup dikatakan siklik jika dan
hanya jika ada unsur ∈
disebut generator sedemikian sehingga =
= ∈ ℤ}Guritman 2004.
Teorema 2.3.9 Jika grup
berorder , maka adalah siklik jika dan hanya jika
ada ∈ sehingga ℴ
= Guritman 2004.
Teorema 2.3.10 Teorema Lagrange’s Jika grup hingga dan
adalah subgrup , maka order dari
membagi order dari Menezes et al. 1997;
Aliatiningtyas 2002.
Definisi 2.3.11 Ring Struktur aljabar
, +,∙ dengan operasi + disebut operasi penjumlahan dan operasi
∙ disebut operasi perkalian, disebut ring jika memenuhi aksioma-aksioma berikut ini.
1. , + grup komutatif.
2. Operasi perkalian bersifat assosiatif.
3. Hukum distributif kiri berlaku :
∀ , , ∈ , + = + .
Hukum distributif kanan berlaku : ∀ , , ∈ , +
= + .
Unsur identitas terhadap + dinotasikan dengan 0 dan disebut unsur nol. Selanjutnya,
1. Jika operasi perkalian bersifat komutatif,
∀ , ∈ ,
= maka disebut ring komutatif.
2. Jika ada unsur identitas dibawah operasi perkalian unsur ini disebut unsur
kesatuan, dinotasikan
dengan 1
dan disingkat
unkes ∀ ∈ ,
∃ ∈ , ∙ = ∙ = maka disebut ring dengan unsur kesatuan
Aliatiningtyas 2002.
Definisi 2.3.12 Misalkan ring. Himpunan bagian
dari ring disebut subring
dari jika merupakan ring dibawah operasi dalam
Aliatiningtyas 2002.
11
Definisi 2.3.13 Ideal Misal
ring, ⊆ , tidak kosong. Himpunan bagian
disebut ideal jika memenuhi : a.
, ∈
− ∈.
b. ∈ dan ∈
∈dan ∈ Aliatiningtyas 2002.
Teorema 2.3.14 Ideal Utama Misalkan ring komutatif dengan unsur kesatuan
1 dan ∈ . Suatu himpunan dilambangkan
, yang didefinisikan sebagai = {
| ∈ } merupakan ideal. Ideal yang demikian disebut ideal utama yang
dibangun oleh Rosdiana 2009.
Definisi 2.3.15 Misalkan ring,
ideal dari , maka koset-koset aditif dari adalah
+ dengan
∈ . Definisikan = { + | ∈ }
. Operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan :
+ + + =
+ + +
+ = + Aliatiningtyas 2002.
Teorema 2.3.16
, +,∙merupakan ring dan disebut ring faktor dari oleh Aliatiningtyas 2002.
Definisi 2.3.17 Fungsi
dari ring R ke ring R’ disebut homomorfisma jika ∀a,b
∈ R, berlaku a + b = a + b
ab = a b Kernel
= { x ∈ R | x = 0’}, 0’ unsur nol dari ’. Jika ada homomorfisma
yang bijektif dari R ke R’, maka dikatakan R isomorfik dengan R’, dinotasikan : R ≃ R’ Aliatiningtyas 2002.
Teorema 2.3.18 Misalkan
θ: R → R’ adalah homomorfisma ring. Maka 1.
θR subring dari R’ 2. Ker
θ adalah ideal dari R 3. Jika N ideal dari R, maka
θN juga ideal dari R’ Aliatiningtyas 2002.
Definisi 2.3.19 Polinomial Jika ring komutatif, maka polinomial dengan
parameter atas diekspresikan dalam bentuk :
= + +
+ +
12 dimana
∈ dan
. disebut koefisien dari
dalam . Integer
terbesar pada ≠ disebut derajad
, dinotasikan deg dan
disebut koefisien utama leading coeffisien dari
. Jika =
polinomial konstan dan
≠ , maka mempunyai derajad 0. Jika semua koefisien
adalah 0, maka disebut polinomial nol dan derajadnya dinotasikan
−∞. Polinomial
dikatakan monik
jika koefisien
utamanya 1
Menezes et al. 1997.
Definisi 2.3.20
ℤ [x] adalah himpunan semua polinomial dalam peubah x dengan koefisien dalam ring
ℤ merupakan sebuah ring di bawah operasi penjumlahan dan perkalian polinomial Fraleigh 2000.
Definisi 2.3.21 Polinomial Irredusibel Misal
∈ ℤ[ ]adalah polinomial berderajad paling kecil 1.
dikatakan irredusibel atas ℤ jika fx tidak dapat
dinyatakan sebagai produk dari dua polinomial berderajad lebih kecil dari fx dalam
ℤ [ ]. Dan dikatakan redusibel jika faktorisasinya ada Menezes et al. 1997.
Definisi 2.3.22 Misal polinomial tak-nol
, ℎ ∈ ℤ [ ]. Maka
dari dan
ℎ , dinotasikan
gcd , ℎ
, adalah polinomial monik berderajad terbesar dalam
ℤ [ ]yang membagi dan
ℎ Menezes et al.
1997.
Teorema 2.3.23 Teorema Faktor Jika
ℤ adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan dan
∈ ℤ[ ] berderajad , maka
= jika dan hanya jika − adalah faktor dari
Michaels 2000.
Definisi 2.3.24 Field Suatu ring yang komutatif, ada unkes dan setiap unsur tak
nolnya mempunyai
invers multiplikatif
disebut lapangan
field Aliatiningtyas 2002.
Definisi 2.3.25 Subfield Jika field memuat field
sedemikian sehingga operasi penjumlahan dan perkalian di
sama dengan di , maka disebut
subfield dari , dan disebut perluasan field dari Pretzel 1992.
13
Definisi 2.3.26 Finite Field Suatu field
dikatakan berhingga finite field jika himpunannya memiliki banyak elemen yang berhingga. Order
adalah banyaknya anggota
Menezes et al. 1997.
Teorema 2.3.27 Eksistensi dan kekhasan finite field.
1. Jika F adalah finite field maka F terdiri dari
unsur dengan p prima dan .
2. Untuk setiap prima berorder p
m
, ada finite field yang khas berorder p
m
. Field ini dinotasikan dengan GFp
m
Menezes et al. 1997.
Teorema 2.3.28 Misal bilangan prima. Himpunan integer modulo
berbentuk field berorder dinotasikan dengan
atau ℤ Rosdiana 2009.
Teorema 2.3.29 Unsur tak-nol membentuk sebuah grup di bawah
operasi perkalian disebut grup perkalian dari , dinotasikan dengan
∗
Menezes et al. 1997.
Teorema 2.3.30
∗
adalah grup siklik yang berorder − dan berlaku
= , untuk setiap ∈ Menezes et al. 1997.
Teorema 2.3.31 Finite field adalah perluasan field
ℤ berderajad , dan setiap elemen
adalah akar polinomial − atas ℤ
Saeki 1997.
Teorema 2.3.32 Misalkan
ℤ adalah field dan misalkan adalah polinomial
tak-konstan di ℤ [ ]. Maka ada perluasan field
dari ℤ dan ada
∈ sedemikian sehingga
= Fraleigh 2000.
Definisi 2.3.33 adalah perluasan field
ℤ . ∈ disebut algebraic atas ℤ jika = untuk beberapa polinomial tak-nol
∈ ℤ[ ]. Jika tidak algebraic atas
ℤ , maka transcendental atas ℤ Fraleigh 2000.
Teorema 2.3.34 Misal
∈ ℤ[ ]adalah polinomial irredusibel berderajad . Maka
ℤ [ ] adalah finite field dengan order
. Penjumlahan dan perkalian polinomial dilakukan dalam modulo
Menezes et al. 1997.
14
Definisi 2.3.35 Suatu polinomial irredusibel
∈ ℤ[ ]berderajad disebut polinomial primitif jika adalah generator dari
∗
Menezes et al. 1997.
Definisi 2.3.36 Misal E perluasan field dari field
ℤ dan c ∈ E algebraic atas ℤ . Polinomial irreducible untuk c atas
ℤ dari polinomial monik dinotasikan dengan irrc,
ℤ dan derajad dari polinomial irreducible untuk c atas ℤ dinotasikan dengan degc,
ℤ Rosdiana 2009.
Teorema 2.3.37 Misal
= ℤ dengan
∈ algebraic atas ℤ , dan deg
, ℤ = , . Setiap unsur
dari = ℤ
dapat dinyatakan secara unik dalam bentuk
= + + +
, dimana ∈ ℤ Rosdiana
2009.
Teorema 2.3.38
Diberikan polinomial
irredusibel ∈ ℤ [ ]
berderajad dan
= , ≅ ℤ [ ]
≅ ℤ ≅ {
+ +
+ | ∈ ℤ untuk semua }Michaels 2000.
Definisi 2.3.39 Ruang Vektor Misal di bawah operasi penjumlahan abelian
grup, field. Pada V didefinisikan aturan penjumlahan dan aturan perkalian
skalar. disebut ruang vektor atas jika memenuhi aksioma berikut.
1. Untuk setiap
∈ dan setiap ⃗ ∈ terdapat tunggal ⃗ ∈ sehingga
tertutup terhadap perkalian : ⃗ =⃗.
2. Untuk setiap
∈ dan setiap ⃗,⃗ ∈ , ⃗ +⃗ =
⃗ +⃗. 3.
Untuk setiap , ∈ dan setiap ⃗ ∈ ,
+ ⃗ = ⃗ +
⃗ .
4. Untuk setiap
, ∈ dan setiap ⃗ ∈ , ⃗ =
⃗. 5.
Untuk setiap ⃗ ∈ , ⃗ = ⃗; 1 unsur identitas di
,∙ Rosdiana 2009.
Definisi 2.3.40 Misalkan V adalah ruang vektor atas skalar , dan misalkan A = {v
1
, v
2
, ..., v
n
} adalah himpunan yang terdiri atas n vektor dalam V. A disebut bebas linear jika
∑ c
i n
i
v
i
= ⇒ ∀i ∈ I = {1,2,…,n} c
i
= . Ingkarannya, A disebut terpaut linear jika
∑ c
i n
i
v
i
= ∧ ∃j ∈ I = {1,2,…,n} c
j
≠ Guritman 2005.
15
Definisi 2.3.41 Misalkan V adalah ruang vektor atas , dan
= { , , … , } adalah himpunan berhingga vektor-vektor di dalam V. Untuk menyatakan bahwa
V adalah ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada himpunan B dituliskan = . Artinya ∀ ∈ , =∑
, adalah integer.
Definisi 2.3.42 Misalkan V adalah ruang vektor atas , dan B adalah himpunan
berhingga vektor-vektor di dalam V. Dikatakan B adalah basis untuk V jika B bebas linear dan V=
B Guritman 2005.
Teorema 2.3.43 Misal
perluasan field dari field ℤ dan ∈ algebraic atas
ℤ . Jika deg , ℤ = , maka ℤ
ruang vektor atas ℤ berdimensi- dengan
basis { , , , … ,
} Rosdiana 2009.
2.4 Masalah Logaritma Diskret
