72
Tentukan faktorisasi bebas kuadrat dari .
Penyelesaian :
= +
+ + + perhitungan menggunakan Algoritme 3.2.9
dengan input .
Selanjutnya karena
deg =
= maka satu faktor bebas kuadrat dari adalah
= +
+ + + .
Jadi =
+ +
+ + .
Contoh 20
Diketahui =
+ +
+ +
+ +
+ + ∈ ℤ[ ], dan
= . Tentukan faktorisasi bebas kuadrat dari
. Penyelesaian :
=
+ +
+ + perhitungan menggunakan Algoritme 3.2.9 dengan input
.
Selanjutnya karena deg
≠ = maka ulangi lagi prosedur
sebelumnya dengan input =
+ +
+ + dan = . Dan
karena ternyata adalah polinomial irredusibel berderajad 7, maka
walaupun proses perhitungan menggunakan Algoritme 3.2.9 terus diulang tidak akan pernah ditemukan suatu faktor dari
yang berderajad sama dengan 4. Jadi perhitungan untuk mengambil atau mengekstrak satu faktor
bebas kuadrat berderajad = dari polinomial
gagal.
2. Faktorisasi Bebas Kuadrat Berderajad
Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Berderajad adalah algoritme untuk mengambil semua faktor bebas kuadrat berderajad
dengan menggunakan Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat.
Algoritme 3.2.11
Algoritme Faktorisasi Bebas Kuadrat Berderajad Input : polinomial monik bebas kuadrat
∈ ℤ[ ]berderajad dan integer positif .
73
Output : =
… 1.
← deg dibagi dengan .
← .
2. Untuk dari 1 selama lakukan :
←gunakan Algoritme 3.2.10 dengan input dan .
←hasil bagi dan
. 3. Hasil =
= =
… Algoritme 3.2.11 diimplementasikan dengan bantuan software Maple 11,
dapat dilihat pada Lampiran 2.4.
Contoh 21
Diketahui : =
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ + +
= . Tentukan : faktorisasi bebas kuadrat berderajad dari
. Penyelesaian :
= =
= . Set
= .
1. Tentukan
. Untuk menentukan gunakan Algoritme 3.2.10 dengan
input dan
= . Diperoleh : =
+ + . =
= +
+ +
+ +
+ +
+ . 2.
Tentukan . Untuk menentukan
gunakan Algoritme 3.2.10 dengan input
dan = . Diperoleh :
= +
+ + + .
= =
+ +
+ +
+ +
+ + .
3. Tentukan
. Untuk menentukan gunakan Algoritme 3.2.10 dengan
input dan
= . Diperoleh : =
+ +
+ + .
74
= =
+ +
+ + .
Jadi : =
. =
+ + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ Algoritme Faktorisasi Faktor Berderajad
ini akan mengekstrak semua faktor berderajad , misal
… dan suatu faktor
yang tidak berderajad , tetapi
merupakan suatu polinomial monik bebas kuadrat. Jika
bukan merupakan polinomial monik bebas kuadrat maka pemfaktoran gagal, seperti pada kasus atau Contoh 20.
3. Faktorisasi Berderajad
Algoritme Faktorisasi Berderajad adalah algoritme untuk menentukan
satu faktor berderajad beserta pengulangan atau pangkatnya dengan
memanfaatkan hasil Algoritme 3.2.12 dan sifat gcd himpunan. Input pada algoritme ini tidak harus polinomial monik bebas kuadrat. Berikut 2 algoritme
pendukung sebelum masuk ke Algoritme Faktorisasi Berderajad , yakni
Algoritme 3.2.12 dan Algoritme 3.2.13.
Algoritme 3.2.12
Algoritme Sisa Bagi 1 Input : polinomial
∈ ℤ[ ]dan integer Output : sisa bagi
oleh .
1. Set
←deg ← log
. 2.
Jika , maka ambil hasil
. Jika
, maka lakukan langkah berikut : ← mod
← mod
Ambil hasil .
75
Algoritme 3.2.12 dimaksudkan untuk menentukan sisa pembagian oleh
, diimplementasikan dengan bantuan software Maple 11, dapat dilihat pada Lampiran 2.5.
Contoh 22 Sisa Bagi 1 untuk kasus deg
Diketahui =
+ +
+ + , dan = .
Tentukan mod
. Penyelesaian :
Karena deg =
= , maka mod
adalah .
Contoh 23 Sisa Bagi 1 untuk kasus deg
Diketahui =
+ +
+ + , dan = .
Tentukan mod
. Penyelesaian :
Karena deg =
= , maka langkah pertama adalah menentukan , = deg
= . Kemudian hitung = log = .
= mod
= mod
= +
+ + .
= mod
= . Jadi sisa baginya adalah
.
Algoritme 3.2.13
Algoritme Sisa Bagi 2 Input : polinomial
∈ ℤ[ ]dan integer Output : sisa bagi
+ oleh .
1 Set
← sisa bagi
oleh perhitungan gunakan Algoritme 3.2.12
2 Jika :
2.1 Suku pertama polinomial adalah 1, maka lakukan langkah berikut.
Jika suku pertama adalah 1, maka lakukan langkah berikut.
ℎ ←
+ .
← ℎ : .
← + .
Ambil hasil : .
76
Jika suku pertama tidak sama dengan 1, maka lakukan langkah
berikut. ←
: . ←
+ . Ambil hasil
. a.
Suku pertama polinomial tidak sama dengan 1, maka lakukan
langkah berikut. Jika suku pertama
sama dengan suku pertama , maka
lakukan langkah berikut. ℎ
← +
. ← ℎ
: . ←
+ . Ambil hasil :
. Jika suku pertama
tidak sama dengan suku pertama , maka
lakukan langkah berikut. ←
: . ←
+ . Ambil hasil
. Algoritme 3.2.13
dimaksudkan untuk menentukan sisa pembagian + oleh
, diimplementasikan dengan bantuan software Maple 11, dapat dilihat pada Lampiran 2.6.
Contoh 24 Sisa Bagi 2
Diketahui =
+ +
+ + , dan = .
Tentukan sisa bagi + oleh
. Penyelesaian :
Berdasarkan Contoh 22, =
mod = .
Karena suku pertama polinomial adalah 1 dan suku pertama
tidak sama dengan 1, maka :
= :
= : = . =
+ = + .
77
Jadi sisa bagi +1 oleh
adalah + .
Algoritme 3.2.14
Algoritme Satu Faktor Derajad Input :
∈ ℤ[ ]dan integer positif . Output : satu faktor berderajad beserta pangkatnya.
1. ←gunakan Algoritme 3.2.13 dengan input polinomial
dan integer positif .
← gcd ,
. 2.
Jika a
= , maka hasilnya adalah .
b ≠ , maka lakukan langkah berikut :
i. Jika
deg = , maka lakukan langkah berikut :
1 Set =
. 2 Untuk dari 1 selama
gcd ,
= , lakukan :
← dibagi dengan
. 3
Ambil hasil =
ii. Jika
deg ≠ , maka lakukan langkah berikut :
1 ←gunakan Algoritme 3.2.11 dengan input
dan . ←banyaknya faktor polinomial
. ← hasil bagi
dengan 2 Untuk dari 1 sampai lakukan
←faktor ke- polinomial ← hasil bagi dengan
. ℎ
←sisa bagi dengan
. ← .
Untuk selama ℎ
= lakukan : ← hasil bagi dengan
. ℎ
←sisa bagi dengan
. ← +.
Hasil : .
78
Algoritme 3.2.14 dimaksudkan untuk memfaktorkan polinomial yang tidak bebas kuadrat, diimplementasikan dengan bantuan software Maple 11, dapat
dilihat pada Lampiran 2.7.
Contoh 25 Faktorisasi satu faktor berderajad .
Diketahui : =
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ +
+ +
+ + = .
Tentukan : faktorisasi satu faktor derajad . Penyelesaian :
Menggunakan Algoritme 3.2.13 dengan input dan
diperoleh nilai ,
yakni =
+ . = gcd
, =
+. Karena
deg =
= , maka :
Set =
.
Untuk dari 1 selama
gcd ,
= atau dengan kata lain
selama sisa bagi dengan
sama dengan nol, lakukan langkah berikut : bagi
dengan . Hasilnya dapat dilihat pada tabel
perhitungan berikut.
Tabel 3.2.16 Hasil Perhitungan
: :
hasil bagi sisa bagi
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
79
Dari tabel
terlihat bahwa
pada saat
= , sisa
bagi :
≠ , maka proses pembagian berhenti pada langkah ke-5 = dan hasil pemfaktoran
adalah : =
= +
+ +
+ +
Contoh 26 Faktorisasi satu faktor berderajad .
Diketahui : =
+ +
+ + , dan = .
Tentukan : faktorisasi satu faktor derajad . Penyelesaian :
Menggunakan Algoritme 3.2.13 dengan input dan
diperoleh nilai ,
yakni =
+ . = gcd
, = + + .
Karena deg
= = , maka :
Set
= .
Untuk
dari 1 selama gcd
, =
atau dengan kata lain selama sisa bagi
dengan sama dengan nol, lakukan langkah
berikut : bagi dengan
. Hasilnya dapat dilihat pada tabel perhitungan berikut.
Tabel
: hasil bagi
sisa bagi +
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ +
+ +
+ +
Dari tabel
terlihat bahwa
pada saat
= , sisa
bagi :
≠ , maka proses pembagian berhenti pada langkah ke-4 = dan hasil pemfaktoran
adalah : =
= +
+ +
+ +
+
80
Contoh 27 Faktorisasi satu faktor berderajad .
Diketahui : =
+ +
+ + , dan = .
Tentukan : faktorisasi satu faktor derajad . Penyelesaian :
Menggunakan Algoritme 3.2.13 dengan input dan
diperoleh nilai ,
yakni =
+ . = gcd
, = +
+ + + .
Karena deg
= = , maka :
Set
= .
Untuk
dari 1 selama gcd
, =
atau dengan kata lain selama sisa bagi
dengan sama dengan nol, lakukan langkah
berikut : bagi dengan
. Hasilnya dapat dilihat pada tabel perhitungan berikut.
Tabel
: hasil bagi
sisa bagi +
+ +
+ +
Dari tabel
terlihat bahwa
pada saat
= , sisa
bagi :
≠ , maka proses pembagian berhenti pada langkah ke-2 = dan hasil pemfaktoran
adalah : =
= +
+ + +
= +
+ + +
Contoh 28 Faktorisasi satu faktor berderajad .
Diketahui : =
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
+ +
dan = .
Tentukan : faktorisasi satu faktor derajad .
81
Penyelesaian : Menggunakan Algoritme 3.2.12 dengan input
dan diperoleh nilai
, yakni
= +
+ +
+ +
+ +
+ + .
= gcd ,
= +.
Karena deg
= ≠ = , maka :
Dengan menggunakan Algoritme 3.2.11 dengan input dan
= , diperoleh nilai
, yakni : =
+ . =banyaknya faktor
= . = hasil bagi
dengan =
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
= faktor ke- polinomial =
+ = hasil bagi
dengan .
= +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ ℎ
= sisa bagi dengan
= . = .
= hasil bagi dengan
. =
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
ℎ = sisa bagi
dengan = .
= .
Hasil = =
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
4. Faktorisasi Lengkap
